Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

Temos a equação diferencial dada: x,y' + 2y = e^x^2. É uma EDO de primeira ordem e do tipo linear, pois pode ser escrita na forma y' + p(x),y = q(x). Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Dividindo por x (supondo xneq0) colocamos a EDO na forma padrão:
$$
y

Passo 3

\frac{2}{x},y = \frac{e{x2}}{x}.
$$

Passo 4

O fator integrante mu(x) é dado por expl(integral p(x),dxr). Aqui temos:
mu(x) = expl(integral 2x,dxr) = exp(2ln|x|) = x^2

Passo 5

Multiplicamos toda a equação padrão por x^2. O lado esquerdo vira a derivada do produto x^2y e o direito fica:
ddxl(x^2yr) = x,e^x^2

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo:
integral ddxl(x^2yr),dx = x^2y

Passo 7

No lado direito usamos a substituição u=x^2, du=2x,dx, ficando:
integral x,e^x^2,dx = 12e^x^2 + C

Passo 8

Logo obtemos:
x^2y = 12e^x^2 + C

Passo 9

Por fim, isolamos y:
y = tfrac12e^x^2 + Cx^2

Resposta

y,x^2 = k + tfrac12e^x^2

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