Resolva as equações abaixo.
\(\left(\frac{x}{4}-\frac{3}{2}\right)\left(3-\frac{x}{4}\right)=0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação
\left(\frac{x}{4}-\frac{3}{2}\right)\left(3-\frac{x}{4}\right)=0.
Informações dadas (apenas o que está no enunciado):
  • A equação é um produto de duas expressões igual a zero.
  • Não foi dada restrição explícita sobre o domínio, então procurar-se-ão soluções em \mathbb{R}.

Passo 2

Princípio usado: a propriedade do produto nulo. Ela diz que, para números reais A e B,
A\cdot B=0 \quad\Longrightarrow\quad A=0 \\ \text{ou}\\ B=0.
Aqui A=\dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{2} e B=3-\dfrac{x}{4}. Pelo produto nulo, basta resolver as equações lineares
\frac{x}{4}-\frac{3}{2}=0 \quad\text{e}\quad 3-\frac{x}{4}=0.

Passo 3

Resolver a primeira equação linear
\frac{x}{4}-\frac{3}{2}=0.
Passo a passo:
  1. Isolar \dfrac{x}{4}: adicionar \dfrac{3}{2} aos dois lados da igualdade
\frac{x}{4}=\frac{3}{2}.
  1. Eliminar a divisão por 4 multiplicando ambos os lados por 4:
x = 4\cdot\frac{3}{2}.
  1. Calcular 4\cdot\dfrac{3}{2}. Uma forma prática sem calculadora: 4\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{4\cdot 3}{2}=\dfrac{12}{2}=6.
    Logo a primeira solução é
x=6.

Passo 4

Resolver a segunda equação linear
3-\frac{x}{4}=0.
Passo a passo:
  1. Isolar \dfrac{x}{4}: passar \dfrac{x}{4} para o outro lado e o 0 continua igual
3=\frac{x}{4}.
  1. Multiplicar ambos os lados por 4 para eliminar a divisão
x=4\cdot 3.
  1. Calcular 4\cdot 3=12.
    Logo a segunda solução é
x=12.

Passo 5

Verificação rápida (substituir na equação original):
  • Para x=6:
\frac{6}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0,
então o produto é 0\cdot(\cdots)=0, satisfaz a equação.
  • Para x=12:
3-\frac{12}{4}=3-3=0,
então o produto é (\cdots)\cdot 0=0, satisfaz a equação.
As duas soluções são válidas e não há outras (produto nulo já garante que todas as soluções vêm dos zeros dos fatores).

Resposta

x=6
x=12

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