Resolva as equações abaixo.
\(\sqrt{2}(x+\sqrt{2})\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-1\right)=0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{2}\,(x+\sqrt{2})\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-1\right)=0.
Informações dadas:
  • A equação é um produto de três fatores igual a zero: os fatores são \sqrt{2}, x+\sqrt{2} e \dfrac{x}{\sqrt{2}}-1.
  • A incógnita é x.
  • A tarefa é encontrar todos os valores de x que tornam a expressão verdadeira.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicado com calma): a propriedade do produto nulo.
  • Regra: se um produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero.
  • Em símbolos: se \,A\cdot B\cdot C=0, então A=0 ou B=0 ou C=0.
    Motivo intuitivo: um produto só pode ser zero se algum fator for zero — multiplicar por números não nulos não gera zero.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: como
\sqrt{2}\,(x+\sqrt{2})\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-1\right)=0,
então pelo menos um dos fatores deve ser zero:
\sqrt{2}=0 \quad\text{ou}\quad x+\sqrt{2}=0 \quad\text{ou}\quad \frac{x}{\sqrt{2}}-1=0.
Observação importante e prática para prova: \sqrt{2} é um número positivo (aproximadamente 1,414), logo \sqrt{2}\neq0. Portanto esse fator nunca anula o produto e não gera solução. Assim restam só as duas equações lineares a resolver:
x+\sqrt{2}=0 \qquad\text{e}\qquad \frac{x}{\sqrt{2}}-1=0.

Passo 4

Resolver a primeira equação linear x+\sqrt{2}=0.
  • Isolar x: subtrai-se \sqrt{2} dos dois lados.
x+\sqrt{2}=0 \\ \Rightarrow\\ x= -\sqrt{2}.
Explicação passo a passo: se uma soma é zero, o número x é o oposto do termo somado \sqrt{2}.

Passo 5

Resolver a segunda equação linear \dfrac{x}{\sqrt{2}}-1=0.
  • Primeiro isolar a fração: \dfrac{x}{\sqrt{2}}=1.
  • Em seguida multiplicar ambos os lados por \sqrt{2} para obter x:
\frac{x}{\sqrt{2}}=1 \\ \Rightarrow\\ x=1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2}.
Explicação: multiplicar por \sqrt{2} cancela a divisão por \sqrt{2}.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom na prova): substituir cada solução na equação original para garantir que produz zero.
  • Para x=\sqrt{2}: o terceiro fator fica \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-1=1-1=0, logo o produto é zero.
  • Para x=-\sqrt{2}: o segundo fator fica -\sqrt{2}+\sqrt{2}=0, logo o produto é zero.
    Ambos funcionam; não há conflito com o fator constante \sqrt{2}\neq0.

Resposta

-\sqrt{2}
\sqrt{2}

Exercícios relacionados