Encontre as soluções reais das equações abaixo, caso existam.
4 x^{2}+81=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções reais da equação quadrática
4x^{2}+81=0.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • Coeficiente do termo x^{2}: a=4.
  • Coeficiente do termo x: b=0.
  • Termo constante: c=81.
    A tarefa é determinar todos os valores x\in\mathbb{R} que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Isolar x^{2} e analisar: primeiro movo o termo constante para o outro lado da equação.
4x^{2}+81=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}=-81.
Agora divido ambos os lados por 4 para obter x^{2} sozinho:
x^{2}=-\dfrac{81}{4}.
Agora uma observação crucial (a parte teórica necessária aqui): para qualquer número real t vale \,t^{2}\ge 0. Isto ocorre porque:
  • Se t\ge 0 então t^{2}=t\cdot t\ge 0.
  • Se t<0 então t^{2}=(-t)\cdot(-t) e -t>0, logo o produto também é \ge 0.
    Portanto o quadrado de um número real nunca é negativo.
No nosso caso a igualdade exige que x^{2} seja igual a -\dfrac{81}{4}, que é um número negativo. Como não existe número real cujo quadrado seja negativo, concluímos que não há solução real para a equação.

Passo 3

Verificação alternativa (método do discriminante) para reforçar a conclusão: para uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 o discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac.
Se \Delta<0 então não existem raízes reais. Aqui a=4, b=0, c=81. Calculando:
\Delta=0^{2}-4\cdot 4\cdot 81 = -4\cdot 4\cdot 81 = -1296.
Como \Delta=-1296<0, novamente obtemos que não há raízes reais. Resultado consistente com o passo anterior.

Passo 4

Resumo amigável: a equação exige que o quadrado de x seja um número negativo, o que é impossível para x real. Portanto não existem soluções no conjunto dos números reais.

Resposta

Não existem soluções reais.

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