Resolva as equações abaixo em
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A incógnita é
e deve ser um número real. - A presença da raiz quadrada
impõe restrições no domínio (valores de que tornam a expressão dentro da raiz definida). - A solução precisa satisfazer a igualdade original, não apenas uma equação obtida por transformações (pois algumas transformações podem gerar soluções extranhas).
Passo 2
Determinar o domínio da equação (valores de
que fazem sentido desde o começo).
- Para que
esteja definida, é necessário que
- Além disso,
representa um número não negativo (a raiz quadrada principal é ). Como esse número é igual a , segue que
- Conclui-se que qualquer solução candidata deve satisfazer simultaneamente
e ; portanto o domínio relevante fica reduzido a
Passo 3
Justificar o passo de elevar ambos os lados ao quadrado e fazê-lo.
- Como, no domínio considerado, ambos os lados da igualdade são números não negativos, podemos elevar os dois lados ao quadrado sem mudar as soluções verdadeiras (elevar ao quadrado é uma operação que preserva igualdade quando os dois lados são não negativos).
- Elevando ao quadrado:
- Simplificando a raiz ao quadrado:
Passo 4
Transformar em uma equação quadrática e aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
- Colocando todos os termos no lado esquerdo:
- Lembrando a fórmula geral para resolver
:
onde
,
e
são os coeficientes da equação. Aqui temos
,
,
.
- Calcular o discriminante:
- Aplicando a fórmula:
Passo 5
Selecionar as raízes que satisfazem o domínio
e descartar as extranhas.
- As duas raízes da quadrática são
- Numericamente,
(positivo) e (negativo). - Como exigimos
, a raiz negativa não pode ser solução da equação original (mesmo que satisfaça a quadrática obtida após elevar ao quadrado, ela é extranha à equação inicial). - Portanto apenas a raiz positiva permanece candidata:
Passo 6
Verificação rápida (mostrar que a candidata funciona).
- Já que a candidata é não negativa, a operação de elevação ao quadrado que fizemos foi válida.
- Substituindo numericamente para checar:
que coincide com
. Logo a candidata satisfaz a equação original.