Resolva as equações abaixo em \mathbb{R} :
\sqrt{x+4}=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\sqrt{x+4}=x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é x e deve ser um número real.
  • A presença da raiz quadrada \sqrt{\;} impõe restrições no domínio (valores de x que tornam a expressão dentro da raiz definida).
  • A solução precisa satisfazer a igualdade original, não apenas uma equação obtida por transformações (pois algumas transformações podem gerar soluções extranhas).

Passo 2

Determinar o domínio da equação (valores de x que fazem sentido desde o começo).
  • Para que \sqrt{x+4} esteja definida, é necessário que
x+4\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -4.
  • Além disso, \sqrt{x+4} representa um número não negativo (a raiz quadrada principal é \ge 0). Como esse número é igual a x, segue que
x\ge 0.
  • Conclui-se que qualquer solução candidata deve satisfazer simultaneamente x\ge -4 e x\ge 0; portanto o domínio relevante fica reduzido a
x\ge 0.

Passo 3

Justificar o passo de elevar ambos os lados ao quadrado e fazê-lo.
  • Como, no domínio considerado, ambos os lados da igualdade são números não negativos, podemos elevar os dois lados ao quadrado sem mudar as soluções verdadeiras (elevar ao quadrado é uma operação que preserva igualdade quando os dois lados são não negativos).
  • Elevando ao quadrado:
\bigl(\sqrt{x+4}\bigr)^2 = x^2.
  • Simplificando a raiz ao quadrado:
x+4 = x^2.

Passo 4

Transformar em uma equação quadrática e aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática).
  • Colocando todos os termos no lado esquerdo:
x^2 - x - 4 = 0.
  • Lembrando a fórmula geral para resolver a x^2 + b x + c = 0:
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação. Aqui temos a=1, b=-1, c=-4.
  • Calcular o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-4) = 1 + 16 = 17.
  • Aplicando a fórmula:
x = \dfrac{-(-1)\pm\sqrt{17}}{2\cdot 1} = \dfrac{1\pm\sqrt{17}}{2}.

Passo 5

Selecionar as raízes que satisfazem o domínio x\ge 0 e descartar as extranhas.
  • As duas raízes da quadrática são
x_1 = \dfrac{1+\sqrt{17}}{2},\qquad x_2 = \dfrac{1-\sqrt{17}}{2}.
  • Numericamente, \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\approx 2,5616 (positivo) e \dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,5616 (negativo).
  • Como exigimos x\ge 0, a raiz negativa x_2 não pode ser solução da equação original (mesmo que satisfaça a quadrática obtida após elevar ao quadrado, ela é extranha à equação inicial).
  • Portanto apenas a raiz positiva permanece candidata:
x = \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (mostrar que a candidata funciona).
  • Já que a candidata é não negativa, a operação de elevação ao quadrado que fizemos foi válida.
  • Substituindo numericamente para checar:
\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}+4}\approx \sqrt{6,5616}\approx 2,5616,
que coincide com x\approx 2,5616. Logo a candidata satisfaz a equação original.

Resposta

\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}

Exercícios relacionados