Resolva as equações abaixo em \mathbb{R} :
2 x^{2}+x-3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
2x^{2}+x-3=0.
Informações dadas (coeficientes da equação quadrática):
  • a=2,
  • b=1,
  • c=-3.
    O que se pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem a equação.

Passo 2

Método escolhido: usar a fórmula resolvente (fórmula quadrática). Vou explicar essa fórmula com calma para você entender e poder aplicar em qualquer equação quadrática.
Considere a equação geral
ax^{2}+bx+c=0,
com a\neq0. A fórmula resolvente dá as raízes x em função de a, b e c:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta é o discriminante, definido por
\Delta=b^{2}-4ac.
O papel do discriminante:
  • Se \Delta>0: há duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0: há uma única raiz real (dupla).
  • Se \Delta<0: não há raízes reais (as raízes são complexas).
Rápida ideia de por que a fórmula funciona (completar quadrado):
Partindo de ax^{2}+bx+c=0, divida por a:
x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.
Passe \frac{c}{a} para a outra face e complete o quadrado:
x^{2}+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
x^{2}+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2} = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} = \frac{\Delta}{4a^{2}}.
Tirando raiz quadrada:
x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a},
e isolando x:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Pronto — fórmula derivada.

Passo 3

Agora aplico a fórmula ao nosso caso com a=2, b=1, c=-3. Primeiro calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot 2\cdot(-3) = 1 + 24 = 25.
Como \Delta=25>0, esperamos duas raízes reais distintas.

Passo 4

Calculo as raízes usando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 5}{4}.

Passo 5

Avalio as duas possibilidades do \pm:
  1. Com o sinal +:
x=\frac{-1+5}{4}=\frac{4}{4}=1.
  1. Com o sinal -:
x=\frac{-1-5}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas ajuda a fixar):
A fatoração usando as raízes obtidas é
2x^{2}+x-3 = 2\bigl(x-1\bigr)\bigl(x+\tfrac{3}{2}\bigr).
Desenvolvendo o lado direito dá 2x^{2}+x-3, logo as raízes estão corretas. Bom trabalho — é exatamente isso que você deve fazer na prova: aplicar a fórmula e simplificar com cuidado.

Resposta

x=1
x=-\dfrac{3}{2}

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