Resolva as equações abaixo em
:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções reais da equação
Informações dadas:
- A incógnita é
. - O domínio de procura é
(números reais). - A equação está escrita como produto de dois fatores
e .
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental que usamos aqui (explicada de forma simples): se o produto de dois números reais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos:
Por que isso é verdade? Intuitivamente, se nenhum dos fatores fosse zero, ambos teriam inverso multiplicativo e o produto não poderia ser zero. Mais formalmente, suponha
e
. Multiplicando
por
dá
, contradição. Então pelo menos um deve ser zero.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso produto, obtemos:
Passo 4
Resolver
. Isolando
:
Explicação do passo: somou-se
em ambos os lados da equação para deixar
sozinho.
Passo 5
Resolver
. Isolando
:
Explicação do passo: subtraiu-se
em ambos os lados da equação para deixar
sozinho.
Passo 6
Verificação rápida: substituir cada solução na equação original.
- Para
: , satisfeita. - Para
: , satisfeita.
Passo 7
Conclusão e garantia de completude: pelas etapas acima e pela propriedade do produto nulo, não existe outra possibilidade além de
ou
. Assim, as únicas soluções reais são
e
. Força aí — essa é daquelas que aparecem muito na prova e a ideia principal é decorar/entender a propriedade do produto nulo.