Resolva as equações abaixo:
(\operatorname{sen} x) y-3=(\operatorname{sen} x)+3 y \quad( resolver em y)

Passo 1

O enunciado dá a equação
(\operatorname{sen} x)\,y-3=(\operatorname{sen} x)+3y
e pede para resolver em y. Ou seja: encontrar uma expressão que dê y em função de x. Informações relevantes que temos já no enunciado:
  • A incógnita a isolar é y.
  • A função \operatorname{sen} x (seno de x) aparece como coeficiente de y.
  • Lembrete numérico útil: \operatorname{sen} x toma valores no intervalo [-1,1].

Passo 2

Vamos recolher todos os termos que contêm y num mesmo membro da igualdade. Subtraindo 3y de ambos os lados e somando 3 a ambos os lados obtemos
(\operatorname{sen} x)\,y-3y=\operatorname{sen} x+3.

Passo 3

Agora usamos a propriedade distributiva (fator comum) para agrupar os termos com y. Podemos escrever o lado esquerdo fatorando y:
y\bigl(\operatorname{sen} x-3\bigr)=\operatorname{sen} x+3.
Explicando: isso veio de somar os dois coeficientes de y, que são \operatorname{sen} x e -3, e escrever y multiplicando essa soma.

Passo 4

Para isolar y em uma equação do tipo y\cdot A = B é preciso dividir ambos os lados por A, desde que A\neq0. Aqui A=\operatorname{sen} x-3. Então precisamos verificar se existe algum x tal que \operatorname{sen} x-3=0.

Passo 5

Usamos o fato de que \operatorname{sen} x\in[-1,1]. Portanto
\operatorname{sen} x-3\in[-1-3,\;1-3]=[-4,-2],
ou seja, \operatorname{sen} x-3 nunca é zero (é sempre um número negativo entre -4 e -2). Logo a divisão por \operatorname{sen} x-3 é válida para todo x real, e podemos isolar y dividindo ambos os lados por esse fator.

Resposta

y=\dfrac{\operatorname{sen} x+3}{\operatorname{sen} x-3}

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