Resolva
3 x \geq 3+15 x

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade
3x \ge 3 + 15x
e pede: encontrar todos os números reais x que tornam essa desigualdade verdadeira.
Informações relevantes do enunciado:
  • Coeficiente de x no primeiro membro: 3.
  • Termos do segundo membro: constante 3 e coeficiente de x igual a 15.
  • Procuramos o conjunto de x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Vamos isolar x agrupando os termos com x de um lado e os termos constantes do outro. Subtraindo 15x dos dois lados (isso é permitido porque aplicar a mesma operação em ambos os lados preserva a desigualdade), obtemos
3x-15x \ge 3.
Agora calculamos o lado esquerdo:
3x-15x = -12x,
portanto ficamos com
-12x \ge 3.

Passo 3

Para isolar x dividimos os dois lados por -12. Atenção importante (regra-chave): ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Explicando por que, rapidinho: se a\ge b e multiplicarmos por -1, teremos -a\le -b (o maior vira menor quando se inverte o sinal). Aqui dividimos por -12, então o símbolo \ge vira \le:
x \le \frac{3}{-12}.
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{3}{-12} = -\frac{1}{4}.
Portanto, após a simplificação, a condição obtida é
x \le -\frac{1}{4}.

Passo 4

Vamos checar com alguns valores (sempre bom testar na prova para evitar erro bobo):
  • Tomando x=-1 (que satisfaz x\le -\tfrac{1}{4}):
    \text{LHS}=3x=3(-1)=-3,\qquad \text{RHS}=3+15x=3+15(-1)=3-15=-12,
    e de fato -3\ge -12 é verdadeiro.
  • Tomando x=0 (que NÃO satisfaz x\le -\tfrac{1}{4}):
    \text{LHS}=3\cdot 0=0,\qquad \text{RHS}=3+15\cdot 0=3,
    e 0\ge 3 é falso, portanto x=0 não pertence à solução — coerente com a condição encontrada.
  • Verificando igualdade no ponto limite x=-\tfrac{1}{4}:
    \text{LHS}=3\left(-\tfrac{1}{4}\right)=-\tfrac{3}{4},\qquad \text{RHS}=3+15\left(-\tfrac{1}{4}\right)=3-\tfrac{15}{4}=\tfrac{12-15}{4}=-\tfrac{3}{4},
    logo \text{LHS}=\text{RHS}, portanto o limite é incluído (o sinal é \le).

Passo 5

Conclusão: a desigualdade é satisfeita por todos os números reais menores ou iguais a -\tfrac{1}{4}. Em notação de intervalo, a solução é o conjunto \left(-\infty,-\tfrac{1}{4}\right].

Resposta

x \le -\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados