Resolva as equações abaixo:
-(\operatorname{sen}(x y)) x \frac{d y}{d x}-y \operatorname{sen}(x y)=15 \frac{d y}{d x}+2 \mathrm{x} \quad\left(\right. resolver em \left.\frac{d y}{d x}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma equação envolvendo x, y e \dfrac{d y}{d x}. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Equação fornecida:
-(\operatorname{sen}(x y))\, x \frac{d y}{d x}-y \operatorname{sen}(x y)=15 \frac{d y}{d x}+2 x .
  • O que se pede: resolver a equação em relação a \dfrac{d y}{d x}; ou seja, isolar \dfrac{d y}{d x} e escrever \dfrac{d y}{d x}= expressão em termos de x e y.

Passo 2

Identificar os termos que contêm \dfrac{d y}{d x} e os que não contêm. Na equação dada, os termos que têm \dfrac{d y}{d x} são:
-(\operatorname{sen}(x y))\, x \frac{d y}{d x}\quad\text{e}\quad 15\frac{d y}{d x}.
Os termos que não têm \dfrac{d y}{d x} são:
-y\operatorname{sen}(x y)\quad\text{e}\quad 2x.
A estratégia é agrupar todos os termos com \dfrac{d y}{d x} de um lado da igualdade e os restantes do outro lado, como em qualquer equação linear em uma incógnita.

Passo 3

Mover os termos com \dfrac{d y}{d x} para o lado esquerdo e os sem derivada para o lado direito, somando ou subtraindo convenientemente. Subtraio 15\frac{d y}{d x} e adiciono y\operatorname{sen}(x y) a ambos os lados:
-(\operatorname{sen}(x y))\, x \frac{d y}{d x}-15\frac{d y}{d x}=y\operatorname{sen}(x y)+2x.

Passo 4

Fatorar \dfrac{d y}{d x} no lado esquerdo, já que ambos os termos à esquerda são múltiplos dela:
\bigl(-x\operatorname{sen}(x y)-15\bigr)\frac{d y}{d x}=y\operatorname{sen}(x y)+2x.
Explicando a operação: fatorar significa escrever a soma de termos que têm um fator comum como esse fator multiplicado pela soma dos coeficientes restantes. Aqui o fator comum é \dfrac{d y}{d x}.

Passo 5

Isolar \dfrac{d y}{d x} dividindo ambos os lados por o coeficiente -x\operatorname{sen}(x y)-15. Desde que esse coeficiente não seja zero, obtemos:
\frac{d y}{d x}=\frac{y\operatorname{sen}(x y)+2x}{-x\operatorname{sen}(x y)-15}.
Esta é a forma direta. Explicando: dividir ambos os lados por um número (ou expressão) é a maneira padrão de isolar uma incógnita numa equação linear.

Passo 6

Apresentar uma forma mais “limpa” (multiplicando numerador e denominador por -1) para evitar o sinal negativo no denominador. Multiplicando por -1 em cima e embaixo:
\frac{d y}{d x}=\frac{-y\operatorname{sen}(x y)-2x}{x\operatorname{sen}(x y)+15}.
Ambas as formas do passo anterior e desta são algebraicamente equivalentes; fica ao gosto escolher a que se lê melhor.

Passo 7

Observação importante sobre domínio: a operação de divisão exigiu que o denominador seja diferente de zero. Portanto, a solução é válida quando
-x\operatorname{sen}(x y)-15 \neq 0,
o que é equivalente a
x\operatorname{sen}(x y)+15 \neq 0.
Se em algum ponto específico (x,y) essa expressão for zero, a equação original deve ser reexaminada (pode indicar uma situação singular ou que não existe solução de \dfrac{d y}{d x} finite naquele ponto).

Resposta

\displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{y\operatorname{sen}(x y)+2x}{-x\operatorname{sen}(x y)-15}

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