Resolva a equação diferencial:
encontrando a solução geral
, e em seguida, a solução particular que atende à condição inicial
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
identificando-a como uma equação de linhas exatas e, em seguida, achar a solução que satisfaz y(1)=0.
Passo 2
Vamos testar se é exata. Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata.
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Para achar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
e
(constante).
Passo 5
A solução geral implícita fica então
Isso é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Para a condição inicial
, substituímos
na relação implícita:
Passo 7
Logo a solução particular que satisfaz
é dada implicitamente por
Resposta
Solução geral (implícita): x^3 y + x e^y = C. Solução particular com y(1)=0: x^3 y + x e^y = 1.