Resolva a equação diferencial:
(3 x^2 y+e^y) d x+(x^3+x e^y) d y=0
encontrando a solução geral y=y(x), e em seguida, a solução particular que atende à condição inicial y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(3x^2y + e^y),dx + (x^3 + x e^y),dy = 0
identificando-a como uma equação de linhas exatas e, em seguida, achar a solução que satisfaz y(1)=0.

Passo 2

Vamos testar se é exata. Definimos
M(x,y)=3x^2y + e^y, N(x,y)=x^3 + x e^y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=3x^2 + e^y, partial Npartial x=3x^2 + e^y
Como My = Nx, a forma é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
Psix = M(x,y), Psiy = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
Psi(x,y)=integral(3x^2y + e^y),dx = yintegral 3x^2,dx + integral e^y,dx = y x^3 + x e^y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos Psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
Psiy = x^3 + x e^y + h'(y) stackrel!= x^3 + x e^y
Logo h'(y)=0 e h(y)=C (constante).

Passo 5

A solução geral implícita fica então
Psi(x,y)=x^3y + x e^y = C
Isso é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Para a condição inicial y(1)=0, substituímos x=1, y=0 na relação implícita:
1^3cdot0 + 1cdot e^0 = C implies C = 1

Passo 7

Logo a solução particular que satisfaz y(1)=0 é dada implicitamente por
x^3y + x e^y = 1

Resposta

Solução geral (implícita): x^3 y + x e^y = C. Solução particular com y(1)=0: x^3 y + x e^y = 1.

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