Resolva as equações abaixo em
\sqrt{x+4}=x

Passo 1

O enunciado nos pede as soluções reais de \sqrt{x+4}=x. O conteúdo é equação com raíz quadrada, então vamos ter que analisar o domínio da raiz e tomar cuidado com possíveis soluções extranas ao elevar ao quadrado.

Passo 2

Para que \sqrt{x+4} exista, é necessário x+4\ge0, ou seja x\ge-4. Além disso, por definição, \sqrt{x+4}\ge0, logo na igualdade \sqrt{x+4}=x temos também x\ge0. Assim o domínio válido será x\ge0.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado (e depois checando extranos), obtemos
(\sqrt{x+4})^2 = x^2
ou seja
x + 4 = x^2.

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão:
x^2 - x - 4 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}.

Passo 5

Temos duas raízes:
x_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2},\qquad x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}.
Como x_2\approx -1{,}56 é negativo, sai do domínio x\ge0. Já x_1\approx2{,}56 é positivo e atende à equação original.

Resposta

\displaystyle \frac{1 + \sqrt{17}}{2}

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