Resolva as equações abaixo sujeitas às condições iniciais dadas:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial abaixo e pede a solução
que satisfaça essa condição:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
O que é pedido: encontrar explicitamente a função
definida para
em que a equação e a condição inicial valem.
Passo 2
Vamos separar as variáveis — isto é, colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro — para poder integrar. A ideia é tratar
como uma razão e reorganizar:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
) e multiplicando por
, obtemos
Agora ambas as variáveis estão separadas, prontas para integrar.
Explicação curta sobre a técnica: separar variáveis consiste em obter algo da forma
e então integrar cada lado. É um método padrão para equações onde a derivada de uma função é produto de uma função de
por uma função de
.
Passo 3
Integramos os dois lados. Vamos lembrar a fórmula básica de integração usada aqui: para
,
No lado esquerdo usamos a primitiva de
, que é o logaritmo natural. Em detalhes:
As integrais são
Unindo as constantes de integração em uma só constante
(definindo
) obtemos
Comentário sobre o valor absoluto: a primitiva de
é
porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos; usar
permite cobrir
positivo ou negativo. A solução
também satisfaz a equação diferencial original, mas não satisfaz a condição inicial dada (que é
), então não nos interessa nesse caso.
Passo 4
Eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados. Exponenciar
dá
. Assim:
Denote
, onde
. Então
, o que implica que a solução geral (permitindo sinal) é
onde
é uma constante real arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero). Aqui passamos de
para
com
.
Observação:
corresponde à solução trivial
.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial para determinar a constante
. A condição é
. Usando a forma geral:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): a solução encontrada é
. Derivando:
conferindo que a equação diferencial é satisfeita e a condição inicial também (pois
). Tudo ok!