Resolva as equações abaixo sujeitas às condições iniciais dadas:
\frac{d Q}{d x}=5 x^{4} Q, \quad Q(0)=-7

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial abaixo e pede a solução Q(x) que satisfaça essa condição:
  • Equação diferencial: \dfrac{dQ}{dx}=5x^{4}Q.
  • Condição inicial: Q(0)=-7.
O que é pedido: encontrar explicitamente a função Q(x) definida para x em que a equação e a condição inicial valem.

Passo 2

Vamos separar as variáveis — isto é, colocar todos os termos com Q de um lado e todos os termos com x do outro — para poder integrar. A ideia é tratar \dfrac{dQ}{dx} como uma razão e reorganizar:
\frac{dQ}{dx}=5x^{4}Q
Dividindo ambos os lados por Q (assumindo momentaneamente Q\neq 0) e multiplicando por dx, obtemos
\frac{1}{Q}\,dQ = 5x^{4}\,dx.
Agora ambas as variáveis estão separadas, prontas para integrar.
Explicação curta sobre a técnica: separar variáveis consiste em obter algo da forma \varphi(Q)\,dQ=\psi(x)\,dx e então integrar cada lado. É um método padrão para equações onde a derivada de uma função é produto de uma função de x por uma função de Q.

Passo 3

Integramos os dois lados. Vamos lembrar a fórmula básica de integração usada aqui: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
No lado esquerdo usamos a primitiva de 1/Q, que é o logaritmo natural. Em detalhes:
\int \frac{1}{Q}\,dQ = \int 5x^{4}\,dx.
As integrais são
\int \frac{1}{Q}\,dQ = \ln|Q| + C_{1}, \qquad \int 5x^{4}\,dx = 5\cdot\frac{x^{5}}{5} + C_{2}=x^{5}+C_{2}.
Unindo as constantes de integração em uma só constante C (definindo C=C_{2}-C_{1}) obtemos
\ln|Q| = x^{5} + C.
Comentário sobre o valor absoluto: a primitiva de 1/Q é \ln|Q| porque o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos; usar |Q| permite cobrir Q positivo ou negativo. A solução Q\equiv 0 também satisfaz a equação diferencial original, mas não satisfaz a condição inicial dada (que é -7), então não nos interessa nesse caso.

Passo 4

Eliminamos o logaritmo exponenciando ambos os lados. Exponenciar \ln|Q| |Q|. Assim:
|Q| = e^{x^{5}+C} = e^{C} e^{x^{5}}.
Denote K=e^{C}, onde K>0. Então |Q|=K e^{x^{5}}, o que implica que a solução geral (permitindo sinal) é
Q(x)=A e^{x^{5}},
onde A é uma constante real arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero). Aqui passamos de |Q|=K e^{x^{5}} para Q=A e^{x^{5}} com A\in\mathbb{R}.
Observação: A=0 corresponde à solução trivial Q\equiv 0.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para determinar a constante A. A condição é Q(0)=-7. Usando a forma geral:
Q(0)=A e^{0}=A.
Portanto
A=-7.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): a solução encontrada é Q(x) = -7 e^{x^{5}}. Derivando:
\frac{dQ}{dx} = -7 \cdot e^{x^{5}} \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{5}\bigr) = -7 e^{x^{5}}\cdot 5x^{4} = 5x^{4}\bigl(-7 e^{x^{5}}\bigr)=5x^{4}Q,
conferindo que a equação diferencial é satisfeita e a condição inicial também (pois Q(0)=-7). Tudo ok!

Resposta

Q(x)=-7e^{x^{5}}

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