Resolva as equações diferenciais exatas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação está escrita na forma envolvendo diferenciais
e . - Não há condições iniciais; queremos a solução geral (constante de integração).
- Os coeficientes das diferenciais são funções polinomiais em
e .
Passo 2
Colocar a equação na forma usual
e identificar
e
.
Explicação do que vamos procurar (aula rápida): às vezes existe uma função
tal que
Se tal função existir, então a solução geral da equação é
(constante). Essa propriedade costuma ser chamada de “existência de potencial” ou que a equação é exata.
Passo 3
Testar se a equação é exata verificando se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Como
, a equação é exata em todo o plano. Isso garante a existência de uma função potencial
cuja diferenciação dá
e
.
Passo 4
Encontrar
integrando
em relação a
. Aqui é importante lembrar que, ao integrar em relação a
, a “constante” de integração pode ser na verdade uma função de
.
onde
é uma função a determinar (porque derivando em
ela some).
Passo 5
Determinar
usando a condição
.
Calcular a partir da expressão encontrada:
Calcular
Igualar isso a
:
Isolando
:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos incorporar
depois na constante final da solução implícita.
Passo 6
Substituir
em
e escrever a solução geral implícita.
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária (absorvendo
). Portanto a família de curvas soluções é dada por
Verificação rápida (cheque de consistência): derivando
obtém-se
e
, que coincidem com
e
originais.
Passo 7
Como dica prática para a prova: ao ver uma equação na forma
,
- identifique
e ; - calcule
e ; - se forem iguais, integre
em (adicionando função de ); depois iguale a para achar essa função de ; - escreva
.
Se, procure um fator integrante (às vezes função só de ou só de ).