Resolva as equações diferenciais exatas abaixo:
(2 x-y) d x-(x+6 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(2x - y)\,dx - (x + 6y)\,dy = 0.
Informações dadas:
  • A equação está escrita na forma envolvendo diferenciais dx e dy.
  • Não há condições iniciais; queremos a solução geral (constante de integração).
  • Os coeficientes das diferenciais são funções polinomiais em x e y.

Passo 2

Colocar a equação na forma usual M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 e identificar M e N.
M(x,y) = 2x - y,\qquad N(x,y) = -(x + 6y).
Explicação do que vamos procurar (aula rápida): às vezes existe uma função \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x}(x,y)=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Psi}{\partial y}(x,y)=N(x,y).
Se tal função existir, então a solução geral da equação é \Psi(x,y)=C (constante). Essa propriedade costuma ser chamada de “existência de potencial” ou que a equação é exata.

Passo 3

Testar se a equação é exata verificando se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(2x - y) = -1,
\frac{\partial N}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-(x + 6y)\bigr) = -1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=-1, a equação é exata em todo o plano. Isso garante a existência de uma função potencial \Psi(x,y) cuja diferenciação dá M e N.

Passo 4

Encontrar \Psi(x,y) integrando M em relação a x. Aqui é importante lembrar que, ao integrar em relação a x, a “constante” de integração pode ser na verdade uma função de y.
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (2x - y)\,dx = x^2 - x y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (porque derivando em x ela some).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \dfrac{\partial \Psi}{\partial y}=N(x,y).
Calcular \dfrac{\partial \Psi}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Psi}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 - x y + h(y)\bigr) = -x + h'(y).
Igualar isso a N(x,y):
-x + h'(y) = -(x + 6y).
Isolando h'(y):
h'(y) = -6y.
Integrando em relação a y:
h(y)=\int -6y\,dy = -3y^2 + C_0,
onde C_0 é uma constante. Podemos incorporar C_0 depois na constante final da solução implícita.

Passo 6

Substituir h(y) em \Psi e escrever a solução geral implícita.
\Psi(x,y)=x^2 - x y - 3y^2 + C_0.
A solução geral da equação diferencial é
\Psi(x,y)=C,
onde C é uma constante arbitrária (absorvendo C_0). Portanto a família de curvas soluções é dada por
x^2 - x y - 3y^2 = C.
Verificação rápida (cheque de consistência): derivando \Psi obtém-se \partial\Psi/\partial x=2x-y e \partial\Psi/\partial y=-x-6y, que coincidem com M e N originais.

Passo 7

Como dica prática para a prova: ao ver uma equação na forma M\,dx+N\,dy=0,
  1. identifique M e N;
  2. calcule \partial M/\partial y e \partial N/\partial x;
  3. se forem iguais, integre M em x (adicionando função de y); depois iguale \partial\Psi/\partial y a N para achar essa função de y;
  4. escreva \Psi(x,y)=C.
    Se \partial M/\partial y\neq \partial N/\partial x, procure um fator integrante (às vezes função só de x ou só de y).

Resposta

x^{2}-x y-3y^{2}=C

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