Resolva as equações diferenciais exatas abaixo:
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}=2x e^{x}-y+6x^{2},
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve y e sua derivada dy/dx.
  • Há termos proporcionais a y, a e^{x}, a x^{2} e multiplicação por x.
  • Observação importante: a equação está escrita com um fator x multiplicando dy/dx, então é preciso cuidar do caso x=0 (a solução válida será para x\neq 0).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Primeiro isolamos dy/dx dividindo por x (assumindo x\neq 0):
\frac{dy}{dx}=\;2e^{x}-\frac{y}{x}+6x.
Reescrevendo na forma padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x), obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\,y=2e^{x}+6x.
Aqui P(x)=\dfrac{1}{x} e Q(x)=2e^{x}+6x.

Passo 3

Explicação do método que vamos usar (integrating factor), passo a passo e a intuição:
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).
  • Multiplicando toda a equação por um fator \mu(x) apropriado (chamado fator integrante), a esquerda fica exatamente a derivada do produto \mu(x)y:
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
  • Para que isso aconteça, \mu(x) deve satisfazer \dfrac{d\mu}{dx}=\mu P, cuja solução é \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big).
  • Depois de multiplicar, integra-se ambos os lados para achar \mu(x)y e, por fim, obtém-se y.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Como P(x)=\dfrac{1}{x},
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Na prática, trabalhamos com \mu(x)=x considerando intervalos onde x tem sinal fixo (a solução geral ficará válida para x\neq0). Portanto escolhemos
\mu(x)=x.

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x. Da equação
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=2e^{x}+6x,
multiplicando por x obtemos
x\frac{dy}{dx}+y=2x e^{x}+6x^{2}.
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x y:
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\frac{dy}{dx}+y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=2x e^{x}+6x^{2}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
x y=\int \big(2x e^{x}+6x^{2}\big)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos as integrais separadamente:
\int 2x e^{x}\,dx \quad\text{e}\quad \int 6x^{2}\,dx.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int 2x e^{x}\,dx usando integração por partes. Primeiro calcule \displaystyle \int x e^{x}\,dx. Seja u=x e dv=e^{x}dx. Então du=dx e v=e^{x}. Pela fórmula de partes:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x}-\int e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}+C=(x-1)e^{x}+C.
Multiplicando por 2
\int 2x e^{x}\,dx = 2(x-1)e^{x}+C.

Passo 8

Calcular \displaystyle \int 6x^{2}\,dx:
\int 6x^{2}\,dx = 6\cdot\frac{x^{3}}{3}=2x^{3}+C.

Passo 9

Juntando as integrais no Passo 6:
x y = 2(x-1)e^{x} + 2x^{3} + C.
Agora isolamos y dividindo por x (novamente lembrando x\neq 0):
y=\frac{2(x-1)e^{x}}{x}+\frac{2x^{3}}{x}+\frac{C}{x}.
Simplificando termos:
y=2e^{x}\left(1-\frac{1}{x}\right)+2x^{2}+\frac{C}{x}.

Passo 10

Interpretando e indicando domínio da solução e constante:
  • A solução geral é
y(x)=2e^{x}\left(1-\frac{1}{x}\right)+2x^{2}+\frac{C}{x},
com constante arbitrária C\in\mathbb{R}.
  • Esta expressão é válida para x\neq 0 (pois dividimos por x ao longo da resolução). Em intervalos onde x>0 ou x<0 a solução acima representa a família geral de soluções.

Resposta

y(x)=2e^{x}\!\left(1-\frac{1}{x}\right)+2x^{2}+\frac{C}{x}

Exercícios relacionados