Resolva as equações diferenciais exatas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve
e sua derivada . - Há termos proporcionais a
, a , a e multiplicação por . - Observação importante: a equação está escrita com um fator
multiplicando , então é preciso cuidar do caso (a solução válida será para ).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Primeiro isolamos
dividindo por
(assumindo
):
Reescrevendo na forma padrão
, obtemos
Aqui
e
.
Passo 3
Explicação do método que vamos usar (integrating factor), passo a passo e a intuição:
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
. - Multiplicando toda a equação por um fator
apropriado (chamado fator integrante), a esquerda fica exatamente a derivada do produto :
- Para que isso aconteça,
deve satisfazer , cuja solução é . - Depois de multiplicar, integra-se ambos os lados para achar
e, por fim, obtém-se .
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Como
,
Na prática, trabalhamos com
considerando intervalos onde
tem sinal fixo (a solução geral ficará válida para
). Portanto escolhemos
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. Da equação
multiplicando por
obtemos
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
:
Logo a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calculamos as integrais separadamente:
Passo 7
Calcular
usando integração por partes. Primeiro calcule
. Seja
e
. Então
e
. Pela fórmula de partes:
Multiplicando por
dá
Passo 8
Calcular
:
Passo 9
Juntando as integrais no Passo 6:
Agora isolamos
dividindo por
(novamente lembrando
):
Simplificando termos:
Passo 10
Interpretando e indicando domínio da solução e constante:
- A solução geral é
com constante arbitrária
.
- Esta expressão é válida para
(pois dividimos por ao longo da resolução). Em intervalos onde ou a solução acima representa a família geral de soluções.