Resolva as equações abaixo usando o método de EDO redutíveis a homogéneas
(b) (x-y-1) d x+(x+4 y-6) d y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO (x - y - 1)\,dx + (x + 4y - 6)\,dy = 0 usando o método de EDO redutíveis a homogêneas. Observamos que as funções envolvidas são afins em x e y com termos constantes, logo podemos eliminar esses termos por uma translação de variáveis para obter uma equação homogênea.

Passo 2

Determinamos o ponto (x_0,y_0)\) que anula os termos constantes resolvendo \[\begin{cases} x_0 - y_0 - 1 = 0,\\\ x_0 + 4y_0 - 6 = 0. \end{cases}
Desses equações vem x_0 = 2\] e \(y_0 = 1. Então definimos
X = x - 2,\quad Y = y - 1,
e como dx = dX, dy = dY a EDO fica
(X - Y)\,dX + (X + 4Y)\,dY = 0,
que é homogênea de grau 1 em (X,Y).

Passo 3

Passamos para a forma de derivada:
\frac{dY}{dX} = -\frac{X - Y}{X + 4Y}.
Como numerador e denominador são homogêneos de grau 1, usamos a substituição
v = \frac{Y}{X},
o que implica
Y = vX,\quad \frac{dY}{dX} = v + X\,\frac{dv}{dX}.

Passo 4

Substituindo na equação original:
v + X\frac{dv}{dX} = -\frac{1 - v}{1 + 4v} \quad\Longrightarrow\quad X\frac{dv}{dX} = -\frac{1 + 4v^2}{1 + 4v}.
Isso é separável:
\frac{1 + 4v}{1 + 4v^2}\,dv = -\frac{dX}{X}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int\frac{1 + 4v}{1 + 4v^2}\,dv = \int\frac{dv}{1 + 4v^2} + \int\frac{4v}{1 + 4v^2}\,dv = \frac12\,\arctan(2v) + \frac12\,\ln\bigl(1 + 4v^2\bigr),
-\int\frac{dX}{X} = -\ln\lvert X\rvert + C.
Multiplicando por 2 e reunindo constantes, obtemos
\arctan(2v) + \ln\bigl(1 + 4v^2\bigr) = -2\ln\lvert X\rvert + C'.

Passo 6

Voltando às variáveis originais X = x - 2 e v = \tfrac{Y}{X} = \tfrac{y - 1}{x - 2}, a solução implícita é
\arctan\!\Bigl(\frac{2(y-1)}{x-2}\Bigr) + \ln\bigl[(x-2)^2 + 4(y-1)^2\bigr] = C.

Resposta

\displaystyle \arctan\!\bigl(\tfrac{2(y-1)}{x-2}\bigr) + \ln\bigl[(x-2)^2 + 4(y-1)^2\bigr] = C

Exercícios relacionados