Resolva as equações abaixo usando o método de EDO redutíveis a homogéneas
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial
que não é homogênea por causa dos termos constantes
e
. O conteúdo aqui é resolução de EDOs redutíveis a homogêneas, usando uma mudança de variáveis (translação) para eliminar esses termos constantes e obter uma equação homogênea de grau 1 em novas variáveis.
Passo 2
Escrevemos a equação como
onde
Para remover os termos constantes, fazemos
e exigimos que em
e
as constantes somem zero:
Resolvendo esse sistema obtemos
Passo 3
Com
temos
e a equação vira
onde agora
e
são homogêneos de grau 1.
Passo 4
Para resolver a homogênea, introduzimos
Substituindo em
recebemos, após fatorar
, a equação separável
Passo 5
Integramos os dois lados:
Fazendo frações parciais em
, obtemos
ou seja
Passo 6
Voltando às variáveis originais:
temos
Resposta
onde
é a constante geral de integração.