Resolva as equações abaixo usando o método de EDO redutíveis a homogéneas
(a) (x-4 y-3) d x-(x-6 y-5) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial
(x - 4y - 3)\,dx \;-\;(x - 6y - 5)\,dy = 0
que não é homogênea por causa dos termos constantes -3 e -5. O conteúdo aqui é resolução de EDOs redutíveis a homogêneas, usando uma mudança de variáveis (translação) para eliminar esses termos constantes e obter uma equação homogênea de grau 1 em novas variáveis.

Passo 2

Escrevemos a equação como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde
M(x,y)=x-4y-3, \quad N(x,y)=-(x-6y-5)=-x+6y+5.
Para remover os termos constantes, fazemos
x = X + a, \quad y = Y + b,
e exigimos que em M e N as constantes somem zero:
a - 4b - 3 = 0, \quad -\,a + 6b + 5 = 0.
Resolvendo esse sistema obtemos
b = -1, \quad a = -1.

Passo 3

Com a=b=-1 temos
X = x + 1, \quad Y = y + 1,
e a equação vira
(X - 4Y)\,dX + (-X +6Y)\,dY = 0,
onde agora M(X,Y)=X-4Y e N(X,Y)=-X+6Y são homogêneos de grau 1.

Passo 4

Para resolver a homogênea, introduzimos
u = \frac{Y}{X} \quad\Longrightarrow\quad Y = uX, \quad dY = u\,dX + X\,du.
Substituindo em
(X - 4Y)\,dX + (-X +6Y)\,dY = 0
recebemos, após fatorar X, a equação separável
\frac{dX}{X} = \frac{1 - 6u}{6u^2 - 5u + 1}\,du.

Passo 5

Integramos os dois lados:
\int \frac{dX}{X} = \int \frac{1 - 6u}{6u^2 - 5u + 1}\,du.
Fazendo frações parciais em \displaystyle\frac{1-6u}{6u^2-5u+1}=\frac{-4}{2u-1}+\frac{3}{3u-1}, obtemos
\ln|X| = -2\ln|2u-1| + \ln|3u-1| + C
ou seja
\ln\Bigl(X\,\frac{(2u-1)^2}{3u-1}\Bigr)=C.

Passo 6

Voltando às variáveis originais:
X = x+1, \quad u = \frac{Y}{X} = \frac{y+1}{x+1},
temos
X\,\frac{(2u-1)^2}{3u-1} = \frac{2y - x +1)^2}{3y - x +2} = \text{constante}.

Resposta

(2y - x + 1)^2 = C\,(3y - x + 2),
onde C é a constante geral de integração.

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