Resolva as equações abaixo em x :
5^{x^{2}-5 x+6}=25

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação em x:
5^{x^{2}-5x+6}=25.
Informações dadas:
  • A base da exponencial é 5.
  • O membro direito é 25.
  • A incógnita é x e queremos todos os valores reais que satisfaçam a igualdade.

Passo 2

Primeiro identifique uma forma conveniente para comparar os dois lados. Observe que 25 pode ser escrito como potência de 5. Escrevemos isso explicitamente:
25 = 5^{2}.

Passo 3

Usamos a propriedade básica de potências: se a^A=a^B com a>0 e a\neq1, então necessariamente A=B. Aqui a=5 satisfaz a>0 e a\neq1, logo podemos igualar os expoentes. Assim obtemos a equação
x^{2}-5x+6 = 2.

Passo 4

Agora transformamos essa igualdade em uma equação polinomial subtraindo 2 de ambos os lados:
x^{2}-5x+6-2=0
ou seja
x^{2}-5x+4=0.

Passo 5

Vamos resolver a quadrática \;x^{2}-5x+4=0\;. Procuro dois números cuja soma seja -5 e cujo produto seja 4. Esses números são -1 e -4. Então fatoramos:
x^{2}-5x+4 = (x-1)(x-4).

Passo 6

Das fatores iguais a zero obtemos as soluções:
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1,
x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4.

Passo 7

É prudente checar substituindo cada solução na equação original.
Para x=1:
5^{1^{2}-5\cdot1+6}=5^{1-5+6}=5^{2}=25,
funciona.
Para x=4:
5^{4^{2}-5\cdot4+6}=5^{16-20+6}=5^{2}=25,
também funciona.

Resposta

x=1
x=4

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