Resolva as equações abaixo em x :
2^{2 x-5}=32

Passo 1

O enunciado pede para resolver em x a equação
2^{2x-5}=32.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • A equação envolve uma potência com base 2 no lado esquerdo.
  • O lado direito é o número 32.

Passo 2

Entendendo a propriedade que vamos usar (aulas de expoentes, explicação didática): quando temos potências com a mesma base positiva diferente de 1, a igualdade
a^u = a^v
implica que
u = v.
Aqui a é a base (um número fixo, a>0 e a\neq1). As letras u e v representam expoentes, que podem ser expressões com x. A justificativa é simples: a função a^t é injetora quando a>0 e a\neq1, ou seja, valores diferentes de t produzem valores diferentes de a^t. Então, se duas potências iguais têm a mesma base, os expoentes têm que ser iguais.
Também usamos algumas regras básicas de potências que talvez você conheça:
(a^m)^n = a^{mn},
a^m \cdot a^n = a^{m+n},
mas aqui a única que precisamos é a de comparar expoentes quando a base coincide.

Passo 3

Aplicando o raciocínio do passo anterior ao nosso problema: a base à esquerda é 2. Se conseguirmos escrever 32 também como uma potência de base 2, então poderemos igualar os expoentes.
Antes de fazer isso, atenção: a condição para podermos igualar expoentes é satisfeita porque a base 2 é positiva e diferente de 1. Então podemos prosseguir com segurança.

Passo 4

Escrevendo 32 como potência de 2. Você pode lembrar que
2^1 = 2,\quad 2^2 = 4,\quad 2^3 = 8,\quad 2^4 = 16,\quad 2^5 = 32.
Portanto pegamos do enunciado o valor 32 (informação do enunciado) e reescrevemos:
32 = 2^5.

Passo 5

Substituímos na equação original:
2^{2x-5}=2^5.
Como explicado no passo 2 (mesma base 2 e 2>0,\,2\neq1), podemos igualar os expoentes:
2x-5 = 5.

Passo 6

Resolver a equação linear para x. Vou mostrar cada pequena passada:
2x-5=5
Somamos 5 em ambos os lados:
2x = 5+5
2x = 10
Agora dividimos por 2:
x = \frac{10}{2}
x = 5.

Passo 7

Verificação (sempre bom checar na prova): substituímos x=5 na equação original e conferimos:
Lado esquerdo:
2^{2x-5}=2^{2\cdot 5-5}=2^{10-5}=2^5=32.
Lado direito é 32. Como os dois lados coincidem, a solução está correta.

Resposta

x=5

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