Resolva as equações abaixo em x :
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a equação
Informações dadas (e implicadas) pelo enunciado:
e os argumentos dos logaritmos devem ser positivos (condição implícita que vamos usar depois).
Passo 2
Determinando o domínio da equação: os argumentos dos logaritmos devem ser maiores que zero. Portanto:
e
A interseção dessas condições é
Ou seja, qualquer solução precisa satisfazer
.
Passo 3
Relembrando uma propriedade importante de logaritmos (que vamos usar): para base
,
,
e, consequentemente,
Esta propriedade vem diretamente de que elevar
à potência
transforma o logaritmo em um fator multiplicativo.
Passo 4
Aplicando essa propriedade à nossa equação:
Portanto a equação original é equivalente a
Passo 5
Usando a definição inversa logaritmo-exponencial: se
então
. Aplicando aqui,
Passo 6
Resolver a equação racional: multiplicando ambos os lados por
(válido pois
garante
):
Passo 7
Expandindo o lado direito e trazendo tudo para um lado:
Dividindo por
para simplificar:
Passo 8
Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
temos
,
,
. Então
Calcule o discriminante:
Logo
Passo 9
Obtemos as duas raízes:
Passo 10
Aplicar o filtro do domínio
:
não satisfaz
, então é rejeitada. Fica
. Verificação rápida na equação original:
confirma que
é solução.