Resolva as equações abaixo em x :
\log _{2}(2 x)-2 \log _{2}(x-1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em x a equação
\log_{2}(2x)-2\log_{2}(x-1)=2.
Informações dadas (e implicadas) pelo enunciado:
\text{a equação acima}çã
e os argumentos dos logaritmos devem ser positivos (condição implícita que vamos usar depois).

Passo 2

Determinando o domínio da equação: os argumentos dos logaritmos devem ser maiores que zero. Portanto:
2x>0 \implies x>0
e
x-1>0 \implies x>1.
A interseção dessas condições é
x>1.
Ou seja, qualquer solução precisa satisfazer x>1.

Passo 3

Relembrando uma propriedade importante de logaritmos (que vamos usar): para base a>0, a\neq1,
\log_a b^n = n\log_a b
e, consequentemente,
\log_a p - n\log_a q = \log_a\!\left(\frac{p}{q^n}\right).
Esta propriedade vem diretamente de que elevar q à potência n transforma o logaritmo em um fator multiplicativo.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa equação:
\log_{2}(2x)-2\log_{2}(x-1)=\log_{2}\!\left(\frac{2x}{(x-1)^2}\right).
Portanto a equação original é equivalente a
\log_{2}\!\left(\frac{2x}{(x-1)^2}\right)=2.

Passo 5

Usando a definição inversa logaritmo-exponencial: se \log_{2}Y=2 então Y=2^{2}=4. Aplicando aqui,
\frac{2x}{(x-1)^2}=4.

Passo 6

Resolver a equação racional: multiplicando ambos os lados por (x-1)^2 (válido pois x>1 garante (x-1)^2>0):
2x = 4(x-1)^2.

Passo 7

Expandindo o lado direito e trazendo tudo para um lado:
2x = 4(x^2 - 2x + 1) = 4x^2 -8x +4,
0 = 4x^2 -8x +4 -2x = 4x^2 -10x +4.
Dividindo por 2 para simplificar:
0 = 2x^2 -5x +2.

Passo 8

Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para 2x^2 -5x +2 =0 temos a=2, b=-5, c=2. Então
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4\cdot2\cdot2}}{2\cdot2}.
Calcule o discriminante:
\Delta = 25 - 16 = 9,\quad \sqrt{\Delta}=3.
Logo
x = \frac{5 \pm 3}{4}.

Passo 9

Obtemos as duas raízes:
x_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2,
x_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.

Passo 10

Aplicar o filtro do domínio x>1: x_2=\tfrac{1}{2} não satisfaz x>1, então é rejeitada. Fica x=2. Verificação rápida na equação original:
\log_{2}(2\cdot 2)-2\log_{2}(2-1)=\log_{2}4 - 2\log_{2}1 = 2 - 2\cdot 0 = 2,
confirma que x=2 é solução.

Resposta

x=2

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