Resolva as equações abaixo.
y^prime prime+2 y^prime=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Temos a EDO y'' + 2y' = 0 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar a técnica da equação característica para resolver.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO, que é r^2 + 2r = 0, e resolvemos para encontrar as raízes do polinômio. As raízes da equação característica vêm de r(r+2)=0, logo r1=0 e r2=-2.

Passo 3

A solução geral da EDO homogênea, por termos duas raízes reais distintas, é y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t, isto é, y(t)=C1 + C2e^-2t.

Passo 4

Calculamos a derivada y'(t)=-2C2e^-2t e aplicamos as condições iniciais em t=0: de y(0)=1 vem C1+C2=1 e de y'(0)=0 vem -2C2=0. Assim, C2=0 e C1=1.

Resposta

y(t)=1

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