Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem e método dos coeficientes a determinar.
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem e método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Para achar a solução geral, primeiro encontramos a solução da homogênea associada. A equação homogênea é
Montamos a equação característica:
Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Agora vamos determinar uma solução particular
usando o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é
e
não aparece na homogênea, propomos
onde
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos na equação original
:
Isso deve ser igual a
Da primeira vem
Passo 6
Portanto a solução particular é
$$y_p(x)=e^{3x}\Bigl(\tfrac{1}{18}x+\tfrac{1}{27}\Bigr).
$$
A solução geral da equação não homogênea é a soma de e
.
A solução geral da equação não homogênea é a soma de