Encontre as soluções gerais das equações não homogêneas.
y^prime prime+9 y=(x+1) e^3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equações diferenciais lineares de 2º ordem e método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para achar a solução geral, primeiro encontramos a solução da homogênea associada. A equação homogênea é
y''+9y=0
Montamos a equação característica:
r^2+9=0, r=pm3i
Logo, a solução homogênea é
yh(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x)

Passo 3

Agora vamos determinar uma solução particular yp usando o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é (x+1)e^3x e e^3x não aparece na homogênea, propomos
yp(x)=e^3x(Ax+B),
onde A e B são constantes a achar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp(x)=e^3x(Ax+B),
yp'(x)=e^3xl(3(Ax+B)+Ar)=e^3x(3Ax+3B+A),
yp''(x)=e^3xl(3(3Ax+3B+A)+Ar)=e^3x(9Ax+9B+6A)

Passo 5

Substituímos na equação original y''+9y=(x+1)e^3x:
yp''+9yp=e^3x(9Ax+9B+6A)+9e^3x(Ax+B)=e^3x(18Ax+18B+6A)
Isso deve ser igual a (x+1)e^3x. Igualando coeficientes do polinômio em x:
18A=1,
18B+6A=1
Da primeira vem A=1/18. Substituindo na segunda:
18B+6cdottfrac118=1implies18B+tfrac13=1implies B=tfrac127

Passo 6

Portanto a solução particular é
$$y_p(x)=e^{3x}\Bigl(\tfrac{1}{18}x+\tfrac{1}{27}\Bigr).
$$
A solução geral da equação não homogênea é a soma de yp(x)=e^3xl(tfrac118x+tfrac127r) e yh.

Resposta

y(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x)+e^3xl(tfracx18+tfrac127r)

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