Resolva as equações de Bernoulli.
d xd t+t x^3+xt=0

Passo 1

A equação dada é dxdt + t,x^3 + xt = 0. Isso é uma equação de Bernoulli com P(t)=tfrac1t, Q(t)=-t e expoente n=3. Vamos usar a técnica de substituição típica desse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro reescrevemos em sua forma padrão de Bernoulli:
dxdt + 1t,x = -t,x^3
Aqui identificamos P(t)=tfrac1t, Q(t)=-t e n=3.

Passo 3

Fazemos a substituição u = x^1-n = x^-2. Calculamos
dudt = -2,x^-3dxdt
Substituindo dxdt = -t x^3-tfracxt obtemos
dudt = -2x^-3l(-t x^3 - xtr) = 2t + 2tu
o que se reorganiza como a equação linear
dudt - 2t,u = 2t

Passo 4

Para resolver dudt - 2tu = 2t, usamos fator integrante
mu(t) = e^-integral 2tdt = t^-2
Multiplicando tudo por t^-2
ddtl(t^-2ur) = 2t
Integrando,
t^-2u = 2ln|t| + C
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u = t^2l(2ln|t| + Cr)

Passo 5

Voltando à variável x, temos x^-2=u, ou seja
x^2 = 1t^2l(2ln|t| + Cr)
e portanto a solução geral é
x(t) = pm1traiz2ln|t| + C

Resposta

x(t)=±\frac{1}{t\sqrt{2\ln|t| + C}}

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