Resolva as inequações abaixo e represente o conjunto solução na reta real:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação (2x-1)(x+3)<0 e representar o conjunto solução na reta real. O conteúdo envolve análise de sinal de um produto de dois fatores: vamos precisar encontrar as raízes de cada fator e depois ver em quais intervalos o produto fica negativo.
Passo 2
Primeiro, achamos as raízes dos fatores resolvendo as equações:
Passo 3
Com as raízes x = -3 e x = \tfrac{1}{2}, dividimos a reta real em três intervalos:
(-∞, -3), (-3, \tfrac{1}{2}) e (\tfrac{1}{2}, ∞).
(-∞, -3), (-3, \tfrac{1}{2}) e (\tfrac{1}{2}, ∞).
Passo 4
Em cada intervalo, escolhemos um ponto-teste para determinar o sinal de cada fator e do produto:
- Em x = -4 (intervalo (-∞, -3)): 2x-1<0 e x+3<0 → produto >0
- Em x = 0 (intervalo (-3, \tfrac{1}{2})): 2x-1<0 e x+3>0 → produto <0
- Em x = 1 (intervalo (\tfrac{1}{2}, ∞)): 2x-1>0 e x+3>0 → produto >0
Dessa forma, o produto é negativo apenas quando x está entre as duas raízes.
Passo 5
Portanto, a inequação (2x-1)(x+3)<0 só é satisfeita no intervalo intermediário onde um fator é negativo e o outro positivo.
Resposta
O conjunto solução é
.