Resolva as equações de Bernoulli:
dydt+1t y=t y^2, t>0.

Passo 1

Resumo: temos a equação de Bernoulli dydt + 1ty = ty^2, que é do tipo dydt + P(t)y = Q(t)y^n com n=2, P(t)=1/t e Q(t)=t. Para resolver, vamos usar a substituição z = y^1-n = y^-1.

Passo 2

Derivação da equação linear em z: como z = y^-1, temos dzdt = -y^-2dydt. Substituindo dydt da equação original e multiplicando todos os termos por -y^-2, obtemos
dzdt - 1tz = -t

Passo 3

Resolução da equação linear: o fator integrante é mu(t)=e^integral -1/t,dt=t^-1. Multiplicando por mu temos
ddtl(t^-1zr) = -1

Passo 4

Integrando,
t^-1z = -t + C Longrightarrow z = Ct - t^2

Passo 5

Volta à variável y: como z = y^-1, a solução geral fica
y(t) = 1z = 1Ct - t^2

Resposta

A solução geral é y(t)=dfrac1Ct - t^2, com C constante arbitrária.

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