Resolva as Equações de Bernoulli:
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=-\frac{y^{2}}{x};

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=-\frac{y^{2}}{x}
Usaremos o método padrão de substituição para esse tipo de equação.

Passo 2

Reconhecemos a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
com P(x)=-\tfrac{1}{x}, Q(x)=-\tfrac{1}{x}
e n=2.
A substituição reduzindo o expoente é
z=y^{1-n}=y^{-1}=\frac{1}{y}\,.

Passo 3

Derivando z em relação a x obtém-se
\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}\,.
Substituindo na equação original (após dividir tudo por y^{2}) chegamos à equação linear
\frac{dz}{dx}+\frac{1}{x}\,z=\frac{1}{x}\,.
O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}dx}=x\,.
Multiplicando ambos os lados por \mu(x) e integrando:
\frac{d}{dx}\bigl(xz\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad xz = x + C \quad\Longrightarrow\quad z = 1 + \frac{C}{x}\,.

Passo 4

Voltando à variável y:
y = \frac{1}{z} = \frac{1}{1+\tfrac{C}{x}} = \frac{x}{x + C}\,.

Resposta

y(x)=\frac{x}{x+C}\,,
onde C é constante arbitrária.

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