Resolva:
\left(x^{4}+y^{4}\right) d x-x y^{3} d y=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem na forma
(x^4 + y^4)\,dx - x\,y^3\,dy = 0.
Como M(x,y)=x^4+y^4 e N(x,y)=-x\,y^3 são homogêneas de grau 4, usamos a substituição y=u\,x para reduzir a equação a uma forma separável.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em termos de \dfrac{dy}{dx}. Da forma
(x^4+y^4)\,dx - x\,y^3\,dy = 0
segue
(x^4+y^4) = x\,y^3\;\frac{dy}{dx}
e, portanto,
\frac{dy}{dx} = \frac{x^4+y^4}{x\,y^3}.

Passo 3

Fazendo y=u\,x implica
\frac{dy}{dx} = u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = \frac{x^4+y^4}{x\,y^3} temos
u + x\frac{du}{dx} = \frac{x^4 + (u\,x)^4}{x\,(u\,x)^3} = \frac{x^4 + u^4 x^4}{x\,u^3 x^3} = u^{-3} + u.
Logo
x\frac{du}{dx} = u^{-3}.

Passo 4

Separamos variáveis:
u^3\,du = \frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int u^3\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u^4}{4} = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original y=x\,u, ou seja u=\tfrac{y}{x}, obtemos
\frac{1}{4}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^4 = \ln\lvert x\rvert + C \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^4 = 4\ln\lvert x\rvert + C',
onde C'=4C é uma constante arbitrária.

Resposta

\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^4 = 4\ln\lvert x\rvert + C.

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