Resolva as Equações de Bernoulli:
-x \frac{d y}{d x}-y=(x y)^{\frac{3}{2}}, y(1)=4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
-\,x\,\frac{dy}{dx}-y = (x\,y)^{\tfrac32}, \qquad y(1)=4.
É preciso primeiro colocar em forma padrão \displaystyle \frac{dy}{dx}+P(x)\,y = Q(x)\,y^n,
identificar P(x), Q(x) e n, e então usar a substituição v=y^{1-n}.

Passo 2

Dividindo tudo por -x obtém-se
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = -\,\frac{(x\,y)^{3/2}}{x} = -\,x^{1/2}\,y^{3/2}.
Aqui P(x)=\tfrac1x, Q(x)=-x^{1/2} e n=\tfrac32.

Passo 3

Para Bernoulli usamos v = y^{1-n}=y^{-1/2}. Então
\frac{dv}{dx} = -\tfrac12\,y^{-3/2}\,\frac{dy}{dx} \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -2\,y^{3/2}\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac1x\,y=-x^{1/2}y^{3/2} e simplificando por y^{3/2}
-2\,\frac{dv}{dx} + \frac{v}{x} = -\,x^{1/2} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = x^{1/2} \;\Longrightarrow\; \frac{dv}{dx} - \frac{1}{2x}\,v = \tfrac12\,x^{1/2}.

Passo 4

Esta é uma equação linear em v. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(-\tfrac12\!\int\frac{dx}{x}\Bigr) = \exp(-\tfrac12\ln x)=x^{-1/2}.
Multiplicando a equação por x^{-1/2} vem
\frac{d}{dx}\bigl(v\,x^{-1/2}\bigr)=\tfrac12.
Integrando,
v\,x^{-1/2} = \tfrac12\,x + C \;\Longrightarrow\; v = \tfrac12\,x^{3/2} + C\,x^{1/2}.

Passo 5

Voltando a y, como v=y^{-1/2},
y^{-1/2} = x^{1/2}\bigl(\tfrac12\,x + C\bigr) \;\Longrightarrow\; y = \frac{1}{\bigl[x^{1/2}(\tfrac12\,x + C)\bigr]^2} = \frac{1}{x\,( \tfrac12\,x + C )^2}.

Passo 6

Usando y(1)=4:
4 = \frac{1}{1\cdot(\tfrac12 + C)^2} \;\Longrightarrow\; (\tfrac12 + C)^2 = \tfrac14 \;\Longrightarrow\; \tfrac12 + C = \pm \tfrac12.
Mas como y>0 implica v=y^{-1/2}>0 em x=1, escolhe-se \tfrac12 + C=+\tfrac12, logo C=0.
Assim
y = \frac{1}{x\,(x/2)^2} = \frac{4}{x^3}.

Resposta

y(x)=\frac{4}{x^3}.

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