Resolva as equações:
(c) \quad \cos x d y=(1-y-\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\cos x\,dy = (1 - y - \operatorname{sen} x)\,dx
que pode ser reescrita como uma equação de primeira ordem linear em y. Para isso, dividimos ambos os lados por \cos x (supondo \cos x\neq0) e colocamos no formato
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Dividindo por \cos x, temos
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y - \operatorname{sen} x}{\cos x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} + \operatorname{sec} x\,y = \operatorname{sec} x - \tan x.
Aqui P(x)=\operatorname{sec} x e Q(x)=\operatorname{sec} x - \tan x.

Passo 3

A fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int \operatorname{sec} x\,dx} = e^{\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|} = \operatorname{sec} x + \tan x.
Multiplicando a equação por \mu(x), obtemos
(\operatorname{sec} x + \tan x)\frac{dy}{dx} + (\operatorname{sec} x + \tan x)\operatorname{sec} x\,y = (\operatorname{sec} x + \tan x)(\operatorname{sec} x - \tan x).
O lado esquerdo é \frac{d}{dx}\bigl[(\operatorname{sec} x + \tan x)\,y\bigr], e o produto do lado direito simplifica:
(\operatorname{sec} x + \tan x)(\operatorname{sec} x - \tan x) = \operatorname{sec}^2 x - \tan^2 x = 1.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl[(\operatorname{sec} x + \tan x)\,y\bigr] = 1.

Passo 4

Integramos em x:
(\operatorname{sec} x + \tan x)\,y = \int 1\,dx = x + C,
onde C é a constante de integração. Isolando y, fica
y = \frac{x + C}{\operatorname{sec} x + \tan x}.
Como \frac{1}{\operatorname{sec} x + \tan x} = \operatorname{sec} x - \tan x = \frac{1 - \operatorname{sen} x}{\cos x}, uma forma equivalente é
y = (x + C)\,\frac{1 - \operatorname{sen} x}{\cos x}.

Resposta

y = \frac{x + C}{\operatorname{sec} x + \tan x} \quad\text{ou}\quad y = (x + C)\,\frac{1 - \operatorname{sen} x}{\cos x}.

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