Resolva as equações:
(b) \left(x e^{y}+y-x^{2}\right) d y=\left(2 x y-e^{y}-x\right) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial \bigl(x e^{y} + y - x^{2}\bigr)\,dy = \bigl(2xy - e^{y} - x\bigr)\,dx.
O conteúdo é equação de primeira ordem exata. Para resolver, vamos reescrevê-la na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0, verificar exatidão e encontrar a função potencial \varphi(x,y).

Passo 2

Reescrevendo a equação temos
\bigl(2xy - e^{y} - x\bigr)\,dx \;-\;\bigl(x e^{y} + y - x^{2}\bigr)\,dy = 0.
Logo identificamos M(x,y) = 2xy - e^{y} - x, N(x,y) = -\bigl(x e^{y} + y - x^{2}\bigr).

Passo 3

Verificamos exatidão calculando as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x - e^{y},\quad \frac{\partial N}{\partial x} = -e^{y} + 2x = 2x - e^{y}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos \varphi(x,y) tal que \phi_{x} = M. Integrando M em relação a x obtemos
\varphi(x,y) = \int\bigl(2xy - e^{y} - x\bigr)\,dx = x^{2}y \;-\; x e^{y} \;-\; \frac{x^{2}}{2} \;+\; h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Para encontrar h(y), comparamos \phi_{y} com N. Calculamos
\phi_{y} = x^{2} - x e^{y} + h'(y)
e sabemos que
\phi_{y} = N = -\bigl(x e^{y} + y - x^{2}\bigr) = x^{2} - x e^{y} - y.
Logo h'(y) = -y, o que dá h(y) = -\frac{y^{2}}{2} + C.

Passo 6

Substituindo h(y) em \varphi(x,y), a solução implícita geral é
\varphi(x,y) = x^{2}y - x e^{y} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = C.

Resposta

A solução geral está dada por
x^{2}y - x e^{y} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = C.

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