Resolva as equações considerando que são exatas ou redutíveis à exatas.
\left(2 x y^{2}-3\right)+\left(2 x^{2} y+4\right) y^{\prime}=0\\ [\\ & 2 x y^{2}-3+\left(2 x^{2} y+4\right) y^{\prime}=0 \\ & M=2 x y^{2}-3 \quad \text { N }=2 x^{2} y+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
2 x y^{2}-3 + \bigl(2 x^{2} y+4\bigr)\,y'=0
Podemos escrevê-la na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=2 x y^{2}-3 \quad\text{e}\quad N(x,y)=2 x^{2} y+4.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(2 x y^{2}-3) =4 x y,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2 x^{2} y+4) =4 x y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y) =\int (2 x y^{2}-3)\,dx =x^{2}y^{2}-3x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =2 x^{2}y + h'(y) \stackrel!=2 x^{2}y+4.
Dessa igualdade segue
h'(y)=4 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=4y + C_{1}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Phi e absorvendo C_{1} na constante geral C, obtemos a solução implícita
\Phi(x,y) = x^{2}y^{2}-3x+4y = C.

Resposta

x^{2}y^{2}-3x+4y = C.

Exercícios relacionados