Determine f_{x} e f_{y} em cada caso.
f(x, y)=\ln \left(x^{3}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\ln\bigl(x^3+y^2\bigr)
e pede as derivadas parciais f_x e f_y.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos f(x,y)=\ln(u) com u(x,y)=x^3+y^2.

Passo 2

Pela regra da cadeia, se f(x,y)=\ln\bigl(u(x,y)\bigr), então
f_x=\frac{1}{u(x,y)}\;\frac{\partial u}{\partial x} \qquad\text{e}\qquad f_y=\frac{1}{u(x,y)}\;\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 3

Calculamos primeiro \partial u/\partial x. Como
u(x,y)=x^3+y^2,
temos
\frac{\partial u}{\partial x} =3x^2.
Logo,
f_x =\frac{1}{x^3+y^2}\;3x^2 =\frac{3x^2}{x^3+y^2}.

Passo 4

Agora calculamos \partial u/\partial y. Como
u(x,y)=x^3+y^2,
temos
\frac{\partial u}{\partial y} =2y.
Portanto,
f_y =\frac{1}{x^3+y^2}\;2y =\frac{2y}{x^3+y^2}.

Resposta

f_x(x,y)=\displaystyle\frac{3x^2}{x^3+y^2}
f_y(x,y)=\displaystyle\frac{2y}{x^3+y^2}

Exercícios relacionados