Determine f_{x} e f_{y} em cada caso.
f(x, y)=\cos \left(x^{5} y^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\cos\bigl(x^5y^4\bigr).
Para isso vamos usar a regra da cadeia: se f(x,y)=h\bigl(k(x,y)\bigr), então
f_x = h'\bigl(k(x,y)\bigr)\,k_x \quad\text{e}\quad f_y = h'\bigl(k(x,y)\bigr)\,k_y.

Passo 2

Definimos
k(x,y)=x^5y^4 \quad\text{e}\quad h(t)=\cos(t).
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h'(t)=-\sin(t).
Para f_x tratamos y como constante, então
k_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^5y^4\bigr) =5x^4\,y^4.
Pela regra da cadeia,
f_x = h'\bigl(k(x,y)\bigr)\,k_x = -\sin\bigl(x^5y^4\bigr)\;\cdot\;5x^4y^4.

Passo 3

Para f_y tratamos x como constante, obtendo
k_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^5y^4\bigr) =4x^5\,y^3.
Aplicando a regra da cadeia,
f_y = h'\bigl(k(x,y)\bigr)\,k_y = -\sin\bigl(x^5y^4\bigr)\;\cdot\;4x^5y^3.

Resposta

f_x(x,y) = -5x^4y^4\,\sin\bigl(x^5y^4\bigr), \qquad f_y(x,y) = -4x^5y^3\,\sin\bigl(x^5y^4\bigr).

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