Resolva as equações:
(d) y\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+x\left(3 x^{2}-5 y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx \;+\; x\bigl(3x^{2}-5y^{2}\bigr)\,dy = 0
e pede sua solução geral. Note que os termos que multiplicam dx e dy são polinômios homogêneos de grau 3 em (x,y). Portanto, podemos tratar como uma equação homogênea de primeira ordem, usando a substituição
y = u\,x,\quad u = \frac{y}{x}.

Passo 2

Rewrite em forma de dy/dx. Partindo de
y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,+\,x\bigl(3x^{2}-5y^{2}\bigr)\,\frac{dy}{dx}=0
isolamos
\frac{dy}{dx} =\,-\,\frac{y(x^{2}+y^{2})}{x(3x^{2}-5y^{2})} =\,-\,\frac{y\bigl(1+(y/x)^{2}\bigr)}{x\bigl(3-5(y/x)^{2}\bigr)}.
Isso confirma que a razão dy/dx depende só de u=y/x, caracterizando homogeneidade.

Passo 3

Fazendo y=u\,x implica
\frac{dy}{dx}=u + x\,\frac{du}{dx}.
Substituindo nessa expressão de dy/dx obtemos
u + x\,\frac{du}{dx} =\,-\,\frac{u\bigl(1+u^{2}\bigr)}{3-5u^{2}}.

Passo 4

Isolamos x\,du/dx:
x\,\frac{du}{dx} =\,-\,\frac{u(1+u^{2})}{3-5u^{2}}\;-\;u =\frac{4\,u\,(u^{2}-1)}{3-5u^{2}}.
Isso leva à separação de variáveis
\frac{3-5u^{2}}{4\,u\,(u^{2}-1)}\,du \;=\;\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos cada lado. Do lado de u temos
\int \frac{3-5u^{2}}{4\,u\,(u^{2}-1)}\,du =\int\Bigl(\frac{A}{u}+\frac{B}{u-1}+\frac{C}{u+1}\Bigr)\,du,
onde, por frações parciais,
\frac{3-5u^{2}}{4\,u\,(u^{2}-1)} =-\frac{3}{4}\,\frac1u \;-\;\frac{1}{4}\,\frac1{u-1} \;-\;\frac{1}{4}\,\frac1{u+1}.

Passo 6

Integrando e igualando ao \displaystyle\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C, obtemos
-\frac{3}{4}\ln|u| \;-\;\frac{1}{4}\ln|u-1| \;-\;\frac{1}{4}\ln|u+1| =\ln|x|+C_{1}.
Multiplicando por -4 e reunindo os logaritmos:
3\ln|u|+\ln|u-1|+\ln|u+1|+4\ln|x|=C_{2} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|u^{3}(u-1)(u+1)x^{4}\bigr|=C_{2}.

Passo 7

Voltando a u=y/x,
u^{3}(u^{2}-1)x^{4} =\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{3}\!\!\Bigl[\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2}-1\Bigr]x^{4} =\frac{y^{3}}{x^{3}}\cdot\frac{y^{2}-x^{2}}{x^{2}}\;x^{4} =\frac{y^{3}(y^{2}-x^{2})}{x}.
Logo a solução implícita é
\frac{y^{3}(y^{2}-x^{2})}{x}=C,
ou equivalentemente
y^{3}(y^{2}-x^{2})=C\,x,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

y^{3}\bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)=C\,x.

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