As equações diferenciais podem sugerir mudanças de coordenadas. Por exemplo, para resolver a equação
(x+2 y-1) d x+3(x+2 y) d y=0,
podemos fazer x+2 y=v.
Neste caso, d x+2 d y=d v, ou seja, d x=d v-2 d y. Substituindo, obtemos a seguinte equação diferencial:
\begin{gathered}
(v-1)(d v-2 d y)+3 v d y=0 \\\ (v-1) d v+(v+2) d y=0 \\\ \frac{v-1}{v+2} d v+d y=0
\end{gathered}
A solução desta última é:
v-3 \ln |v+2|+y+c=0 .
Lembrando que v=x+2 y, obtemos:
x+3 y+C=3 \ln |x+2 y+2| .
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
(a) (1+3 x \operatorname{sen} y) d x-x^{2} \cos y d y=0 \quad( sugestão \operatorname{sen} y=w)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando a mudança de variável sugerida w=\operatorname{sen} y. Vamos precisar expressar dy em termos de dw e transformar a equação numa equação em x e w.