As equações diferenciais podem sugerir mudanças de coordenadas. Por exemplo, para resolver a equação
(x+2 y-1) d x+3(x+2 y) d y=0,
podemos fazer x+2 y=v.
Neste caso, d x+2 d y=d v, ou seja, d x=d v-2 d y. Substituindo, obtemos a seguinte equação diferencial:
\begin{gathered} (v-1)(d v-2 d y)+3 v d y=0 \\\ (v-1) d v+(v+2) d y=0 \\\ \frac{v-1}{v+2} d v+d y=0 \end{gathered}
A solução desta última é:
v-3 \ln |v+2|+y+c=0 .
Lembrando que v=x+2 y, obtemos:
x+3 y+C=3 \ln |x+2 y+2| .
Resolver as equações abaixo, usando uma conveniente mudança de coordenadas:
(a) (1+3 x \operatorname{sen} y) d x-x^{2} \cos y d y=0 \quad( sugestão \operatorname{sen} y=w)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(1+3x\operatorname{sen} y)\,dx \;-\;x^{2}\cos y\,dy=0
usando a mudança de variável sugerida w=\operatorname{sen} y. Vamos precisar expressar dy em termos de dw e transformar a equação numa equação em x e w.

Passo 2

Definimos
w = \operatorname{sen} y.
Diferenciando, temos
dw = \cos y\,dy \quad\Longrightarrow\quad \cos y\,dy = dw.
Substituindo na equação original,
(1+3x\,w)\,dx \;-\; x^{2}\underbrace{\cos y\,dy}_{dw}=0
fica
(1+3xw)\,dx \;-\;x^{2}\,dw=0.

Passo 3

Reescrevendo como equação em derivada de w em relação a x,
(1+3xw)\,dx = x^{2}\,dw \quad\Longrightarrow\quad \frac{dw}{dx} = \frac{1+3xw}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3w}{x}.
Essa é uma equação linear da forma
\frac{dw}{dx} - \frac{3}{x}\,w = \frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(-\!\int \frac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-3\ln x) = x^{-3}.
Multiplicando a equação por x^{-3},
x^{-3}\frac{dw}{dx} - 3x^{-4}w = x^{-5},
que equivale a
\frac{d}{dx}\bigl(w\,x^{-3}\bigr) = x^{-5}.
Integrando em x,
w\,x^{-3} = \int x^{-5}\,dx = -\frac{1}{4x^{4}} + C.
Logo,
w = -\frac{1}{4x} + C\,x^{3}.

Passo 5

Voltando à variável original y, temos w=\operatorname{sen} y. Assim,
\operatorname{sen} y = -\frac{1}{4x} + C\,x^{3}.

Resposta

\operatorname{sen} y = C\,x^{3} - \dfrac{1}{4x}.

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