Resolva as equações:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede sua solução geral. Note que os termos que multiplicam
e
são polinômios homogêneos de grau 3 em
. Portanto, podemos tratar como uma equação homogênea de primeira ordem, usando a substituição
Passo 2
Rewrite em forma de
. Partindo de
isolamos
Isso confirma que a razão
depende só de
, caracterizando homogeneidade.
Passo 3
Fazendo
implica
Substituindo nessa expressão de
obtemos
Passo 4
Isolamos
:
Isso leva à separação de variáveis
Passo 5
Integramos cada lado. Do lado de
temos
onde, por frações parciais,
Passo 6
Integrando e igualando ao
, obtemos
Multiplicando por
e reunindo os logaritmos:
Passo 7
Voltando a
,
Logo a solução implícita é
ou equivalentemente
onde
é a constante geral de integração.