Resolva as equações e as desigualdades:
\left|\frac{2 x-1}{x-3}\right|=2

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação
\left|\frac{2x-1}{x-3}\right|=2.
Informações dadas e restrições explícitas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é \dfrac{2x-1}{x-3}.
  • O denominador x-3 não pode ser zero, portanto x\neq 3.
  • O lado direito é o número 2, que é não negativo (importante para tratar valor absoluto).

Passo 2

Conceito importante sobre valor absoluto (mini-aula): para qualquer expressão A e número real B\ge 0,
|A|=B \quad\Longleftrightarrow\quad A=B \quad\text{ou}\quad A=-B.
Explicando de forma simples: o valor absoluto mede distância até zero; se a distância de A até zero é B, então A pode ser B ou -B. Aqui A=\dfrac{2x-1}{x-3} e B=2, e como 2\ge 0 podemos aplicar a regra acima e dividir o problema em dois casos.

Passo 3

Aplicando a regra do passo anterior aos nossos termos, obtemos os dois casos a resolver:
  1. \dfrac{2x-1}{x-3}=2.
  2. \dfrac{2x-1}{x-3}=-2.
Lembrando sempre que qualquer solução encontrada deve satisfazer x\neq 3.

Passo 4

Resolver o caso 1:
\frac{2x-1}{x-3}=2.
Multiplicando ambos os lados por x-3 (válido desde que x\neq3, o que já sabemos):
2x-1 = 2(x-3).
Expandindo o lado direito:
2x-1 = 2x-6.
Subtraindo 2x de ambos os lados:
-1=-6,
que é uma contradição. Portanto o caso 1 não produz nenhuma solução (nenhum x satisfaz essa igualdade).

Passo 5

Resolver o caso 2:
\frac{2x-1}{x-3}=-2.
Multiplicando ambos os lados por x-3 (novamente lembrando x\neq3):
2x-1 = -2(x-3).
Expandindo o lado direito:
2x-1 = -2x+6.
Agora somamos 2x aos dois lados:
4x-1=6.
Somamos 1 aos dois lados:
4x=7.
Dividindo por 4:
x=\frac{7}{4}.

Passo 6

Verificação da solução encontrada e checagem do domínio:
  • Verificar x\neq 3: \dfrac{7}{4}\neq 3, ok.
  • Substituir em \dfrac{2x-1}{x-3}:
2\!\left(\frac{7}{4}\right)-1=\frac{7}{2}-1=\frac{5}{2}, \qquad \frac{7}{4}-3=\frac{7-12}{4}=-\frac{5}{4},
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\frac{2x-1}{x-3}=\frac{\tfrac{5}{2}}{-\tfrac{5}{4}}=\tfrac{5}{2}\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right)=-2.
E \left|-2\right|=2, portanto \,x=\dfrac{7}{4}\, é solução válida.

Passo 7

Conclusão e observações finais:
  • O primeiro caso não deu soluções porque levou a uma contradição.
  • O segundo caso deu uma solução única que respeita o domínio.
  • Cuidado comum na prova: nunca esquecer de excluir x=3 e sempre verificar a solução no enunciado original quando lidar com equações racionais envolvendo valor absoluto.

Resposta

\displaystyle x=\frac{7}{4}

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