Explicando de forma simples: o valor absoluto mede distância até zero; se a distância de A até zero é B, então A pode ser B ou -B. Aqui A=\dfrac{2x-1}{x-3} e B=2, e como 2\ge 0 podemos aplicar a regra acima e dividir o problema em dois casos.
Passo 3
Aplicando a regra do passo anterior aos nossos termos, obtemos os dois casos a resolver:
\dfrac{2x-1}{x-3}=2.
\dfrac{2x-1}{x-3}=-2.
Lembrando sempre que qualquer solução encontrada deve satisfazer x\neq 3.
Passo 4
Resolver o caso 1:
\frac{2x-1}{x-3}=2.
Multiplicando ambos os lados por x-3 (válido desde que x\neq3, o que já sabemos):
2x-1 = 2(x-3).
Expandindo o lado direito:
2x-1 = 2x-6.
Subtraindo 2x de ambos os lados:
-1=-6,
que é uma contradição. Portanto o caso 1 não produz nenhuma solução (nenhum x satisfaz essa igualdade).
Passo 5
Resolver o caso 2:
\frac{2x-1}{x-3}=-2.
Multiplicando ambos os lados por x-3 (novamente lembrando x\neq3):
2x-1 = -2(x-3).
Expandindo o lado direito:
2x-1 = -2x+6.
Agora somamos 2x aos dois lados:
4x-1=6.
Somamos 1 aos dois lados:
4x=7.
Dividindo por 4:
x=\frac{7}{4}.
Passo 6
Verificação da solução encontrada e checagem do domínio:
E \left|-2\right|=2, portanto \,x=\dfrac{7}{4}\, é solução válida.
Passo 7
Conclusão e observações finais:
O primeiro caso não deu soluções porque levou a uma contradição.
O segundo caso deu uma solução única que respeita o domínio.
Cuidado comum na prova: nunca esquecer de excluir x=3 e sempre verificar a solução no enunciado original quando lidar com equações racionais envolvendo valor absoluto.