Uma expressão equivalente a
a \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2}, \quad \text { para } a>0 \text { e } b>0
é:
a) \frac{a}{b}+\frac{b}{a}
b) \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^{2}
c) \frac{a^{2}+b^{2}}{a b}
d) a^{2}+b^{2}+2 a b
e) a+b+2

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
a \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2},
com as condições a>0 e b>0. A pergunta é: qual das alternativas abaixo é equivalente a essa expressão?
a) \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}
b) \left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)^{2}
c) \dfrac{a^{2}+b^{2}}{a b}
d) a^{2}+b^{2}+2 a b
e) a+b+2

Passo 2

Vamos analisar o conteúdo dentro da raiz quadrada e tentar reconhecer uma forma conhecida. Observe a soma
\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2.
Uma estratégia útil é tentar ver se isso é um quadrado perfeito. Lembra da fórmula do quadrado de uma soma:
\left(x+y\right)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Se escolhermos x=\dfrac{a}{b} e y=\dfrac{b}{a}, então calculamos x^{2}+2xy+y^{2}.

Passo 3

Calculemos explicitamente com x=\dfrac{a}{b} e y=\dfrac{b}{a}:
x^{2}+2xy+y^{2}=\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+2\cdot\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{a}\right)^{2} =\frac{a^{2}}{b^{2}}+2+\frac{b^{2}}{a^{2}}.
Portanto a expressão dentro da raiz é exatamente o quadrado
\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a raiz quadrada. Para qualquer número real z vale \sqrt{z^{2}}=|z|. Aqui
\sqrt{\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^{2}}=\left|\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right|.
Mas como a>0 e b>0, temos \dfrac{a}{b}>0 e \dfrac{b}{a}>0, logo \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}>0. Assim o valor absoluto não altera o sinal:
\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}.

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão original (se a intenção fosse apenas a raiz), teríamos
\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+2}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a},
que coincide com a alternativa (a). (Observação didática: se um termo multiplicador à parte estivesse presente fora da raiz, haveria que multiplicar pelo fator; aqui a forma clássica do exercício é reconhecer o quadrado perfeito e retirar a raiz.)

Resposta

a) \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}

Exercícios relacionados