Resolva as equaçōes diferenciais abaixo: ((3,0))
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{x \sqrt{x^{2}+1}-3 y}{x} \y(1)=\frac{2 \sqrt{2}}{15}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte condição inicial e equação diferencial:
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x\sqrt{x^{2}+1}-3y}{x},\\[6pt] y(1)=\dfrac{2\sqrt{2}}{15}. \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • A equação envolve y'(x), y(x) e funções de x.
  • Há uma condição inicial em x=1.
  • Observação importante: a equação contém divisão por x, portanto x\neq0. Como a condição inicial é em x=1>0, podemos trabalhar no intervalo x>0.
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Começo simplificando o lado direito:
\frac{dy}{dx}=\frac{x\sqrt{x^{2}+1}-3y}{x}=\sqrt{x^{2}+1}-\frac{3}{x}y.
Escrevendo na forma padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x), obtemos:
\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}y=\sqrt{x^{2}+1}.
Explicando a ideia: uma equação linear de primeira ordem tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x). A técnica padrão é multiplicar por um fator integrante \mu(x) tal que \mu(x)\left(\dfrac{dy}{dx}+P(x)y\right)=\dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big). Esse \mu é dado por \mu(x)=\exp\!\big(\int P(x)\,dx\big).

Passo 3

Calcular o fator integrante. Aqui P(x)=\dfrac{3}{x}. Então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{3}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(3\ln|x|\right)=|x|^{3}.
Como estamos trabalhando com x>0, podemos escrever \mu(x)=x^{3}. Agora multiplicamos a equação por x^{3}:
x^{3}\frac{dy}{dx}+x^{3}\cdot\frac{3}{x}y=x^{3}\sqrt{x^{2}+1}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(x^{3}y\big). Portanto
\frac{d}{dx}\big(x^{3}y\big)=x^{3}\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
x^{3}y=\int x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx + C.
Agora calculamos a integral \displaystyle \int x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx passo a passo. Faço a substituição clássica para radicais:
u=x^{2}+1\quad\Rightarrow\quad du=2x\,dx.
Reescrevo x^{3}dx como x^{2}\cdot x\,dx e uso x^{2}=u-1 e x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx=(u-1)\sqrt{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\big(u^{3/2}-u^{1/2}\big)\,du.
Integral:
\int x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\int\big(u^{3/2}-u^{1/2}\big)\,du =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}u^{5/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right)+\text{const}.
Simplificando:
\int x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{5}u^{5/2}-\frac{1}{3}u^{3/2}+ \text{const}.
Voltando a u=x^{2}+1:
\int x^{3}\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{5}\big(x^{2}+1\big)^{5/2}-\frac{1}{3}\big(x^{2}+1\big)^{3/2}+ \text{const}.

Passo 5

Portanto a solução geral implícita é
x^{3}y=\frac{1}{5}\big(x^{2}+1\big)^{5/2}-\frac{1}{3}\big(x^{2}+1\big)^{3/2}+C.
Dividindo por x^{3} (novamente x>0):
y(x)=\frac{1}{x^{3}}\left[\frac{1}{5}\big(x^{2}+1\big)^{5/2}-\frac{1}{3}\big(x^{2}+1\big)^{3/2}+C\right].

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(1)=\dfrac{2\sqrt{2}}{15} para determinar C. Substituo x=1 na expressão antes de dividir por x^{3} (mais simples):
1^{3}\cdot y(1)=\frac{1}{5}\big(1^{2}+1\big)^{5/2}-\frac{1}{3}\big(1^{2}+1\big)^{3/2}+C.
Calculo os termos com x=1: 1^{2}+1=2, \big(2\big)^{3/2}=2\sqrt{2}, \big(2\big)^{5/2}=4\sqrt{2}. Então
y(1)=\frac{1}{5}\cdot 4\sqrt{2}-\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{2}+C =\sqrt{2}\left(\frac{4}{5}-\frac{2}{3}\right)+C.
Calculo a diferença de frações:
\frac{4}{5}-\frac{2}{3}=\frac{12-10}{15}=\frac{2}{15},
portanto o lado direito sem C é \dfrac{2\sqrt{2}}{15}. Como y(1) dado é \dfrac{2\sqrt{2}}{15}, obtemos
\frac{2\sqrt{2}}{15}=\frac{2\sqrt{2}}{15}+C \quad\Rightarrow\quad C=0.

Passo 7

Com C=0 a solução particular fica
y(x)=\frac{1}{x^{3}}\left[\frac{1}{5}\big(x^{2}+1\big)^{5/2}-\frac{1}{3}\big(x^{2}+1\big)^{3/2}\right].
Para deixar mais compacto, fatoro \big(x^{2}+1\big)^{3/2}:
y(x)=\frac{\big(x^{2}+1\big)^{3/2}}{x^{3}}\left[\frac{1}{5}\big(x^{2}+1\big)-\frac{1}{3}\right].
Calculo o colchete:
\frac{1}{5}(x^{2}+1)-\frac{1}{3}=\frac{3(x^{2}+1)-5}{15}=\frac{3x^{2}-2}{15}.
Logo uma forma simplificada e elegante da solução é
y(x)=\frac{3x^{2}-2}{15}\cdot\frac{\big(x^{2}+1\big)^{3/2}}{x^{3}}.

Resposta

y(x)=\frac{3x^{2}-2}{15}\cdot\frac{\big(x^{2}+1\big)^{3/2}}{x^{3}}

Exercícios relacionados