Resolva as equaçōes diferenciais abaixo: ((3,0))
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Vamos listar claramente o que é pedido e o que temos:
- Pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial . - Informação dada: a equação diferencial envolve
, e potências de . O ponto inicial é com .]
Passo 2
Primeiro simplifico a equação para ver sua estrutura. Escrevendo
e expandindo:
Rearranjando para a forma padrão:
Isto é uma equação do tipo Bernoulli, que tem a forma
Aqui
,
e
. A técnica padrão para Bernoulli é transformar a equação por meio da substituição
Vou aplicar essa transformação.
Passo 3
Como
, temos
. Defino
Calculo
em termos de
. Usando derivação da potência:
Isolando
:
Substituo essa expressão na equação rearranjada
:
Divido tudo por
(isto é válido nas vizinhanças do ponto
porque
):
Lembro que
, então:
Multiplicando por
e dividindo por
:
Pronto: obtivemos uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Agora resolvo a equação linear
O fator integrante é
Multiplico a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo é a derivada de
, logo
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Volto à variável
:
Aplico a condição inicial. Como
, temos
. Substituindo
:
Portanto
. Assim
Passo 6
Lembro que
. Então
Inverto a potência para obter
:
Posso escrever de forma mais direta:
Observação sobre domínio: a solução está bem definida para
e para valores de
tais que
. Em particular, em
a expressão é regular e dá
, conforme exigido.