Resolva as equaçōes diferenciais abaixo: ((3,0))
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=\frac{2 y\left(\sqrt[3]{y}+3 x^{2}\right)}{x^{3}} \y(1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{2 y\left(\sqrt[3]{y}+3 x^{2}\right)}{x^{3}},\\[6pt] y(1)=1. \end{array}\right.
Vamos listar claramente o que é pedido e o que temos:
  • Pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(1)=1.
  • Informação dada: a equação diferencial envolve y, \sqrt[3]{y} e potências de x. O ponto inicial é x=1 com y=1.]

Passo 2

Primeiro simplifico a equação para ver sua estrutura. Escrevendo \sqrt[3]{y}=y^{1/3} e expandindo:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 y\bigl(y^{1/3}+3x^{2}\bigr)}{x^{3}} = \frac{2 y^{4/3}}{x^{3}} + \frac{6 y}{x}.
Rearranjando para a forma padrão:
\frac{d y}{d x}-\frac{6}{x}y=\frac{2}{x^{3}}\,y^{4/3}.
Isto é uma equação do tipo Bernoulli, que tem a forma
\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)y^{m}.
Aqui P(x)=-\dfrac{6}{x}, Q(x)=\dfrac{2}{x^{3}} e m=\dfrac{4}{3}. A técnica padrão para Bernoulli é transformar a equação por meio da substituição
v=y^{1-m}.
Vou aplicar essa transformação.

Passo 3

Como m=\dfrac{4}{3}, temos 1-m=-\dfrac{1}{3}. Defino
v=y^{-1/3}.
Calculo dv/dx em termos de dy/dx. Usando derivação da potência:
\frac{d v}{d x}=\frac{d}{dx}\bigl(y^{-1/3}\bigr)= -\frac{1}{3}\,y^{-4/3}\,\frac{d y}{d x}.
Isolando \dfrac{d y}{d x}:
\frac{d y}{d x}=-3\,y^{4/3}\,\frac{d v}{d x}.
Substituo essa expressão na equação rearranjada \dfrac{d y}{d x}-\dfrac{6}{x}y=\dfrac{2}{x^{3}}y^{4/3}:
-3\,y^{4/3}\frac{d v}{d x}-\frac{6}{x}y=\frac{2}{x^{3}}y^{4/3}.
Divido tudo por y^{4/3} (isto é válido nas vizinhanças do ponto x=1 porque y(1)=1\neq0):
-3\frac{d v}{d x}-\frac{6}{x}y^{-1/3}=\frac{2}{x^{3}}.
Lembro que y^{-1/3}=v, então:
-3\frac{d v}{d x}-\frac{6}{x}v=\frac{2}{x^{3}}.
Multiplicando por -1 e dividindo por 3:
\frac{d v}{d x}+\frac{2}{x}v=-\frac{2}{3}\,x^{-3}.
Pronto: obtivemos uma equação linear de primeira ordem para v(x).

Passo 4

Agora resolvo a equação linear
\frac{d v}{d x}+\frac{2}{x}v=-\frac{2}{3}\,x^{-3}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{2}{x}\,dx\Bigr)=\exp(2\ln x)=x^{2}.
Multiplico a equação pelo fator integrante:
x^{2}\frac{d v}{d x}+2x v=-\frac{2}{3}x^{-1}.
O lado esquerdo é a derivada de x^{2}v, logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}v\bigr)=-\frac{2}{3}x^{-1}.
Integro ambos os lados em relação a x:
x^{2}v=\int -\frac{2}{3}x^{-1}\,dx = -\frac{2}{3}\ln x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Volto à variável v:
v(x)=\frac{-\dfrac{2}{3}\ln x + C}{x^{2}}.
Aplico a condição inicial. Como y(1)=1, temos v(1)=y(1)^{-1/3}=1^{-1/3}=1. Substituindo x=1:
1 = v(1)=\frac{-\dfrac{2}{3}\ln 1 + C}{1^{2}}=\frac{0+C}{1}=C.
Portanto C=1. Assim
v(x)=\frac{1-\dfrac{2}{3}\ln x}{x^{2}}.

Passo 6

Lembro que v=y^{-1/3}. Então
y^{-1/3}=\frac{1-\dfrac{2}{3}\ln x}{x^{2}}.
Inverto a potência para obter y:
y(x)=\left(\frac{x^{2}}{\,1-\dfrac{2}{3}\ln x\,}\right)^{3}.
Posso escrever de forma mais direta:
y(x)=\frac{x^{6}}{\bigl(1-\tfrac{2}{3}\ln x\bigr)^{3}}.
Observação sobre domínio: a solução está bem definida para x>0 e para valores de x tais que 1-\tfrac{2}{3}\ln x\neq0. Em particular, em x=1 a expressão é regular e dá y(1)=1, conforme exigido.

Resposta

y(x)=\frac{x^{6}}{\bigl(1-\tfrac{2}{3}\ln x\bigr)^{3}}.

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