Resolva as equações diferenciais abaixo do seguinte modo: encontre a solução geral da equação homogênea, através da equação característica; e encontre a solução particular da equação dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
(01)
(01)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
As tarefas exigidas são:
- Encontrar a solução geral da equação homogênea associada;
- Encontrar uma solução particular da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados;
- Combinar as duas para obter a solução geral da equação não-homogênea.
Informações relevantes dadas:
- A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é
(uma exponencial). - Não foram dadas condições iniciais, então procuramos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
Explicação do método: para equações lineares com coeficientes constantes é comum tentar uma solução do tipo
, pois derivadas de
são múltiplos de
e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
(a chamada equação característica). Substituindo
temos:
Substituindo na homogênea e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Portanto as raízes são
e
. Como as raízes são reais distintas, a forma geral da solução da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se houvessem).
Passo 3
Agora vamos buscar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Explicação do método (em palavras simples): quando o termo do lado direito é uma combinação de funções “simples” (polinômios, exponenciais, senos/cossenos), podemos supor uma forma para
parecida com esse termo, com coeficientes desconhecidos, derivar e ajustar esses coeficientes substituindo na equação. Antes de escolher a forma, é preciso verificar se há “ressonância”: se a função escolhida pertence ao espaço das soluções da homogênea. Se houver coincidência, multiplicamos por potências de
até eliminar a coincidência.
Aqui o lado direito é
. A tentativa natural é uma solução particular do tipo
onde
é uma constante indeterminada a ser encontrada. Antes de usar, verificamos ressonância: o expoente
é raiz da equação característica? As raízes da homogênea foram
e
, logo
não é raiz; portanto não há ressonância e a forma
é adequada.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e substituímos na equação para determinar
.
Derivadas:
Substituindo em
:
Agora fazemos a soma dentro do parênteses:
Portanto
Queremos que isso seja igual a
. Assim impõe-se
Dividindo por
(não zero) obtemos
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea e da particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Pequena verificação (opcional, só para confirmar): substituindo
no lado esquerdo obtemos
, que coincide com o termo do lado direito, portanto
está correta.
Força aí — essa é a resposta que você precisará na prova: solução homogênea via equação característica, particular pelo método dos coeficientes indeterminados, e combinação final.