Resolva as equações diferenciais abaixo do seguinte modo: encontre a solução geral da equação homogênea, através da equação característica; e encontre a solução particular da equação dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
(01) y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{2 t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'-3y=3e^{2t}.
As tarefas exigidas são:
  • Encontrar a solução geral da equação homogênea associada;
  • Encontrar uma solução particular da equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados;
  • Combinar as duas para obter a solução geral da equação não-homogênea.
Informações relevantes dadas:
  • A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é 3e^{2t} (uma exponencial).
  • Não foram dadas condições iniciais, então procuramos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
y''-2y'-3y=0.
Explicação do método: para equações lineares com coeficientes constantes é comum tentar uma solução do tipo y=e^{rt}, pois derivadas de e^{rt} são múltiplos de e^{rt} e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Substituindo y=e^{rt} temos:
y' = r e^{rt},\qquad y'' = r^2 e^{rt}.
Substituindo na homogênea e dividindo por e^{rt} (que nunca é zero) obtemos a equação característica:
r^2 - 2r - 3 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
r^2 - 2r - 3 = (r-3)(r+1)=0.
Portanto as raízes são r_1=3 e r_2=-1. Como as raízes são reais distintas, a forma geral da solução da homogênea é uma combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitárias (determinar-se-iam por condições iniciais, se houvessem).

Passo 3

Agora vamos buscar uma solução particular y_p(t) para a equação completa
y''-2y'-3y=3e^{2t},
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Explicação do método (em palavras simples): quando o termo do lado direito é uma combinação de funções “simples” (polinômios, exponenciais, senos/cossenos), podemos supor uma forma para y_p parecida com esse termo, com coeficientes desconhecidos, derivar e ajustar esses coeficientes substituindo na equação. Antes de escolher a forma, é preciso verificar se há “ressonância”: se a função escolhida pertence ao espaço das soluções da homogênea. Se houver coincidência, multiplicamos por potências de t até eliminar a coincidência.
Aqui o lado direito é 3e^{2t}. A tentativa natural é uma solução particular do tipo
y_p(t) = A e^{2t},
onde A é uma constante indeterminada a ser encontrada. Antes de usar, verificamos ressonância: o expoente 2 é raiz da equação característica? As raízes da homogênea foram 3 e -1, logo 2 não é raiz; portanto não há ressonância e a forma A e^{2t} é adequada.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p e substituímos na equação para determinar A.
Derivadas:
y_p = A e^{2t},\qquad y_p' = 2A e^{2t},\qquad y_p'' = 4A e^{2t}.
Substituindo em y''-2y'-3y:
y_p''-2y_p'-3y_p = \bigl(4A - 2\cdot 2A - 3A\bigr)e^{2t}.
Agora fazemos a soma dentro do parênteses:
4A - 4A - 3A = -3A.
Portanto
y_p''-2y_p'-3y_p = -3A\,e^{2t}.
Queremos que isso seja igual a 3e^{2t}. Assim impõe-se
-3A\,e^{2t} = 3e^{2t}.
Dividindo por e^{2t} (não zero) obtemos
-3A = 3.
Logo
A = -1.
Portanto a solução particular é
y_p(t) = -e^{2t}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea e da particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} - e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Pequena verificação (opcional, só para confirmar): substituindo y_p=-e^{2t} no lado esquerdo obtemos -3(-1)e^{2t}=3e^{2t}, que coincide com o termo do lado direito, portanto y_p está correta.
Força aí — essa é a resposta que você precisará na prova: solução homogênea via equação característica, particular pelo método dos coeficientes indeterminados, e combinação final.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-t}-e^{2t}

Exercícios relacionados