Resolva as equações diferenciais abaixo do seguinte modo: encontre a solução geral da equação homogênea, através da equação característica; e encontre a solução particular da equação dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
(05)
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Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação homogênea (usando a equação característica) e encontrar uma solução particular da equação completa pelo método dos coeficientes indeterminados, para a EDO
Informações dadas e observações iniciais:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo à direita é trigonométrico:
. - Precisamos devolver a solução geral
, com da homogênea e particular.
Passo 2
Primeiro vamos achar a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica: supondo
, obtemos
Essa é uma equação algébrica simples; fatorando,
portanto as raízes são
e
.
Significado: cada raiz real
dá uma solução
. Assim a solução geral da homogênea é a combinação linear das duas soluções independentes:
onde
são constantes arbitrárias. (Observação: a raiz
gera a solução constante.)
Passo 3
Agora vamos simplificar o segundo membro para escolher um bom palpite para
. Usamos a identidade trigonométrica
Portanto o termo da direita fica
Assim a EDO equivalente que precisamos resolver é
Passo 4
Método dos coeficientes indeterminados — escolha do palpite:
- O termo não-homogêneo é da forma sinusoidal
. Para essa forma, tentamos uma solução particular do tipo
com
constantes desconhecidas a determinar.
- Antes de usar esse palpite, verificamos se há ressonância: isso ocorreria se
(ou seja, ) fosse raiz da equação característica . Como as raízes da homogênea são e , não há ressonância. Logo o palpite acima é adequado sem multiplicar por .
Passo 5
Calcular
e
e substituir na EDO.
Derivadas (usar derivada de
e
):
Derivando:
Derivando novamente:
Agora somamos
:
Agrupando termos de
e
:
Isso deve ser igual ao lado direito
, que é
. Igualando coeficientes, obtemos o sistema linear para
:
Passo 6
Resolver o sistema para
e
.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Calcule o lado esquerdo:
Portanto
Então
Passo 7
Escrevendo a solução particular com os valores encontrados:
Podemos fatorar
se desejar:
Passo 8
Solução geral da EDO: somando homogênea e particular,
onde
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.