Resolva as equações diferenciais abaixo do seguinte modo: encontre a solução geral da equação homogênea, através da equação característica; e encontre a solução particular da equação dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
(05) y^{\prime \prime}+y^{\prime}=3 \operatorname{sen} 2 t \operatorname{tcos} 2 t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação homogênea (usando a equação característica) e encontrar uma solução particular da equação completa pelo método dos coeficientes indeterminados, para a EDO
y''+y'=3\operatorname{sen}2t\operatorname{cos}2t.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo à direita é trigonométrico: 3\operatorname{sen}2t\operatorname{cos}2t.
  • Precisamos devolver a solução geral y(t)=y_h(t)+y_p(t), com y_h da homogênea e y_p particular.

Passo 2

Primeiro vamos achar a solução geral da equação homogênea associada:
y''+y'=0.
Para isso usamos a equação característica: supondo y=e^{rt}, obtemos
r^2+r=0.
Essa é uma equação algébrica simples; fatorando,
r(r+1)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=-1.
Significado: cada raiz real r dá uma solução e^{rt}. Assim a solução geral da homogênea é a combinação linear das duas soluções independentes:
y_h(t)=C_1 e^{0\cdot t}+C_2 e^{-t}=C_1 + C_2 e^{-t},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. (Observação: a raiz r=0 gera a solução constante.)

Passo 3

Agora vamos simplificar o segundo membro para escolher um bom palpite para y_p. Usamos a identidade trigonométrica
\sin(2t)\cos(2t)=\tfrac{1}{2}\sin(4t).
Portanto o termo da direita fica
3\sin(2t)\cos(2t)=3\cdot\tfrac{1}{2}\sin(4t)=\tfrac{3}{2}\sin(4t).
Assim a EDO equivalente que precisamos resolver é
y''+y'=\tfrac{3}{2}\sin(4t).

Passo 4

Método dos coeficientes indeterminados — escolha do palpite:
  • O termo não-homogêneo é da forma sinusoidal \sin(4t). Para essa forma, tentamos uma solução particular do tipo
y_p(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t),
com A,B constantes desconhecidas a determinar.
  • Antes de usar esse palpite, verificamos se há ressonância: isso ocorreria se e^{\pm 4 i t} (ou seja, r=\pm 4i) fosse raiz da equação característica r^2+r=0. Como as raízes da homogênea são 0 e -1, não há ressonância. Logo o palpite acima é adequado sem multiplicar por t.

Passo 5

Calcular y_p' e y_p'' e substituir na EDO.
Derivadas (usar derivada de \cos e \sin):
y_p(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t).
Derivando:
y_p'(t)=-4A\sin(4t)+4B\cos(4t).
Derivando novamente:
y_p''(t)=-16A\cos(4t)-16B\sin(4t).
Agora somamos y_p''+y_p':
y_p''+y_p' = (-16A\cos(4t)-16B\sin(4t)) + (-4A\sin(4t)+4B\cos(4t)).
Agrupando termos de \cos(4t) e \sin(4t):
y_p''+y_p' = \bigl(-16A+4B\bigr)\cos(4t) + \bigl(-16B-4A\bigr)\sin(4t).
Isso deve ser igual ao lado direito \tfrac{3}{2}\sin(4t), que é 0\cdot\cos(4t)+\tfrac{3}{2}\sin(4t). Igualando coeficientes, obtemos o sistema linear para A,B:
\begin{cases} -16A+4B=0,\\[4pt] -16B-4A=\tfrac{3}{2}. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para A e B.
Da primeira equação:
-16A+4B=0 \quad\Rightarrow\quad 4B=16A \quad\Rightarrow\quad B=4A.
Substituindo na segunda equação:
-16(4A)-4A=\tfrac{3}{2}.
Calcule o lado esquerdo:
-64A-4A=-68A.
Portanto
-68A=\tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad A=-\dfrac{\tfrac{3}{2}}{68}=-\dfrac{3}{136}.
Então
B=4A=4\left(-\dfrac{3}{136}\right)=-\dfrac{12}{136}=-\dfrac{3}{34}.

Passo 7

Escrevendo a solução particular com os valores encontrados:
y_p(t)=A\cos(4t)+B\sin(4t)=-\dfrac{3}{136}\cos(4t)-\dfrac{3}{34}\sin(4t).
Podemos fatorar -\dfrac{3}{136} se desejar:
y_p(t)=-\dfrac{3}{136}\bigl(\cos(4t)+4\sin(4t)\bigr).

Passo 8

Solução geral da EDO: somando homogênea e particular,
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 + C_2 e^{-t} -\dfrac{3}{136}\cos(4t)-\dfrac{3}{34}\sin(4t),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t}-\dfrac{3}{136}\cos(4t)-\dfrac{3}{34}\sin(4t)

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