Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando o método da variação dos parâmetros. y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=x e^{2 x}
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y' -6y = x e^{2x}
pelo método da variação dos parâmetros. Para isso precisamos: 1. Encontrar a solução geral da homogênea associada. 2. Calcular o Wronskiano das soluções da homogênea. 3. Determinar as funções u_1(x) e u_2(x) que variam nos parâmetros. 4. Construir a solução particular e, por fim, a solução geral.
Passo 2
A equação homogênea é
y'' + y' -6y = 0.
A equação característica é
r^2 + r -6 = 0
cuja solução é
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -3.
Logo uma base de soluções é
y_1(x) = e^{2x}, \quad y_2(x) = e^{-3x},
e a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x}.
Passo 3
No método da variação dos parâmetros escrevemos a solução particular na forma