Resolva. (Aplicação do segundo teorema do deslocamento).
L^{-1}\left[\frac{e^{-3 s}}{s^{2}+6 s+10}\right](t)

Passo 1

O enunciado pede calcular
L^{-1}\biggl[\frac{e^{-3s}}{s^{2}+6s+10}\biggr](t),
que é um caso do segundo teorema do deslocamento, segundo o qual
L^{-1}\bigl[e^{-a s}F(s)\bigr](t)=u(t-a)\,f(t-a),
onde f(t)=L^{-1}[F(s)](t) e u(t-a) é a função degrau em t=a.

Passo 2

Primeiro encontramos
f(t)=L^{-1}\biggl[\frac{1}{s^{2}+6s+10}\biggr](t).
Para isso completamos o quadrado no denominador:
s^{2}+6s+10 = (s+3)^{2}+1.
Logo
\frac{1}{s^{2}+6s+10} =\frac{1}{(s+3)^{2}+1}
e sabemos que
L\bigl[e^{-3t}\sin(t)\bigr](s) =\frac{1}{(s+3)^{2}+1}.
Portanto
f(t)=e^{-3t}\,\sin(t)\quad(t\ge0).

Passo 3

Agora aplicamos o segundo teorema do deslocamento com a=3:
L^{-1}\biggl[\frac{e^{-3s}}{s^{2}+6s+10}\biggr](t) = u(t-3)\,f(t-3) = u(t-3)\,e^{-3(t-3)}\sin\bigl(t-3\bigr).

Resposta

u(t-3)\,e^{-3(t-3)}\sin\bigl(t-3\bigr).

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