Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando o método da variação dos parâmetros.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-6 y=x e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y' -6y = x e^{2x}
pelo método da variação dos parâmetros. Para isso precisamos:
1. Encontrar a solução geral da homogênea associada.
2. Calcular o Wronskiano das soluções da homogênea.
3. Determinar as funções u_1(x) e u_2(x) que variam nos parâmetros.
4. Construir a solução particular e, por fim, a solução geral.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y' -6y = 0.
A equação característica é
r^2 + r -6 = 0
cuja solução é
r = 2 \quad\text{ou}\quad r = -3.
Logo uma base de soluções é
y_1(x) = e^{2x}, \quad y_2(x) = e^{-3x},
e a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

No método da variação dos parâmetros escrevemos a solução particular na forma
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x)
com as condições
u_1'(x)\,y_1(x) + u_2'(x)\,y_2(x) = 0, \qquad u_1'(x)\,y_1'(x) + u_2'(x)\,y_2'(x) = g(x),
once g(x)=x e^{2x}. O Wronskiano é
W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[6pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{2x} & e^{-3x} \\[3pt] 2e^{2x} & -3e^{-3x} \end{vmatrix} = -5\,e^{-x}.
As fórmulas para as derivadas são
u_1'(x) = -\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)}, \qquad u_2'(x) = \frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)}.]

Passo 4

Substituindo y_1, y_2 e g temos
u_1'(x) = -\frac{e^{-3x}\,(x e^{2x})}{-5e^{-x}} = \frac{x}{5}, \qquad u_2'(x) = \frac{e^{2x}\,(x e^{2x})}{-5e^{-x}} = -\frac{x e^{5x}}{5}.
Integramos para achar u_1 e u_2:
u_1(x) = \int \frac{x}{5}\,dx = \frac{x^2}{10},
e para u_2 usamos integração por partes em \displaystyle \int x e^{5x}dx:
\int x e^{5x}dx = \frac{x e^{5x}}{5} - \int \frac{e^{5x}}{5}dx = \frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25}.
Logo
u_2(x) = -\frac{1}{5}\Bigl(\frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25}\Bigr) = -\frac{x e^{5x}}{25} + \frac{e^{5x}}{125}.

Passo 5

A solução particular é
y_p(x) = u_1(x)\,y_1(x) + u_2(x)\,y_2(x) = \frac{x^2}{10}\,e^{2x} + \Bigl(-\frac{x e^{5x}}{25} + \frac{e^{5x}}{125}\Bigr)e^{-3x} = e^{2x}\Bigl(\frac{x^2}{10} - \frac{x}{25} + \frac{1}{125}\Bigr).
Assim a solução geral da não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} + e^{2x}\Bigl(\frac{x^2}{10} - \frac{x}{25} + \frac{1}{125}\Bigr).

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-3x} + e^{2x}\Bigl(\tfrac{x^2}{10} - \tfrac{x}{25} + \tfrac{1}{125}\Bigr).}

Exercícios relacionados