Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial
Informações dadas:
- A equação é de primeira ordem para a função
. - A condição inicial é
. - É preciso encontrar
definida numa vizinhança de que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma mais clara, isolando
:
Esta é uma equação não linear do tipo Bernoulli. A forma geral da equação de Bernoulli é
onde
,
são funções de
e
é um número real. Aqui temos
,
e
.
A técnica padrão para Bernoulli é a substituição
Vamos explicar isso passo a passo: se
, então derivando em relação a
obtém-se uma relação entre
e
que elimina o termo
e transforma a equação numa equação linear para
. No nosso caso,
, portanto fazemos
Passo 3
Calcular
em termos de
e
. Como
,
Agora substituímos
da equação original. Da equação escrita em Passo 2 temos
Multiplicando ambos os lados por
dá
Simplificando os potências de
:
Lembre que
. Substituindo,
Portanto obtivemos uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Resolver a equação linear
O fator integrante
é
assumindo
(a condição inicial em
justifica trabalhar com
perto de
). Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, logo
Integrando ambos os lados em relação a
,
onde
é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral
.
Passo 5
Calcular
. Vamos computar
por partes repetidas.
- Primeira integração por partes: escolha
e . Então e . Temos
- Agora calcular
. Outra integração por partes: escolha , . Então , . Logo
- Calcular
. Integração por partes com , . Então , . Assim
- Substituindo
em :
- Substituindo
em :
Simplificando:
- Portanto
(Aqui o
é a constante de integração que teremos na expressão para
.)
Passo 6
Substituindo a integral na expressão de
obtemos
Dividindo por
,
Passo 7
Usar a condição inicial para determinar
. Lembrando que
e que
, temos
. Avaliando a fórmula em
:
Agrupando termos:
Logo
Passo 8
Escrever a solução final para
e voltar para
. Substituindo
em
,
Como
, obtemos a solução buscada
Aqui a raiz cúbica é a raiz real; tomando a raiz cúbica que satisfaz
a solução é única na vizinhança de
.