Resolva as equações diferenciais abaixo.
y^{\prime}+x^{-1} y-\cos (x) y^{-2}=0, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial
y^{\prime}+x^{-1} y-\cos(x)\,y^{-2}=0,\qquad y(1)=1.
Informações dadas:
  • A equação é de primeira ordem para a função y(x).
  • A condição inicial é y(1)=1.
  • É preciso encontrar y(x) definida numa vizinhança de x=1 que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma mais clara, isolando y':
y' + \frac{1}{x}\,y = \cos(x)\,y^{-2}.
Esta é uma equação não linear do tipo Bernoulli. A forma geral da equação de Bernoulli é
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n},
onde P(x), Q(x) são funções de x e n é um número real. Aqui temos P(x)=\dfrac{1}{x}, Q(x)=\cos(x) e n=-2.
A técnica padrão para Bernoulli é a substituição
u = y^{1-n}.
Vamos explicar isso passo a passo: se u=y^{1-n}, então derivando em relação a x obtém-se uma relação entre u' e y' que elimina o termo y^{n} e transforma a equação numa equação linear para u. No nosso caso, 1-n=1-(-2)=3, portanto fazemos
u = y^{3}.

Passo 3

Calcular u' em termos de y e y'. Como u=y^{3},
u' = 3y^{2}y'.
Agora substituímos y' da equação original. Da equação escrita em Passo 2 temos
y' = \cos(x)\,y^{-2} - \frac{1}{x}\,y.
Multiplicando ambos os lados por 3y^{2}
u' = 3y^{2}\left(\cos(x)\,y^{-2} - \frac{1}{x}\,y\right).
Simplificando os potências de y:
u' = 3\cos(x) - \frac{3}{x}\,y^{3}.
Lembre que y^{3}=u. Substituindo,
u' + \frac{3}{x}\,u = 3\cos(x).
Portanto obtivemos uma equação linear de primeira ordem para u(x).

Passo 4

Resolver a equação linear
u' + \frac{3}{x}\,u = 3\cos(x).
O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{3}{x}\,dx\right)=\exp(3\ln x)=x^{3},
assumindo x>0 (a condição inicial em x=1 justifica trabalhar com x perto de 1). Multiplicando a equação por x^{3} obtemos
x^{3}u' + 3x^{2}u = 3x^{3}\cos(x).
O lado esquerdo é a derivada do produto x^{3}u, logo
\frac{d}{dx}\big(x^{3}u\big) = 3x^{3}\cos(x).
Integrando ambos os lados em relação a x,
x^{3}u = \int 3x^{3}\cos(x)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora precisamos calcular a integral \int 3x^{3}\cos(x)\,dx.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int 3x^{3}\cos(x)\,dx = 3\int x^{3}\cos(x)\,dx. Vamos computar I=\int x^{3}\cos(x)\,dx por partes repetidas.
  1. Primeira integração por partes: escolha a=x^{3} e db=\cos x\,dx. Então da=3x^{2}dx e b=\sin x. Temos
I = x^{3}\sin x - \int 3x^{2}\sin x\,dx.
  1. Agora calcular J=\int x^{2}\sin x\,dx. Outra integração por partes: escolha a=x^{2}, db=\sin x\,dx. Então da=2x\,dx, b=-\cos x. Logo
J = -x^{2}\cos x + \int 2x\cos x\,dx.
  1. Calcular K=\int x\cos x\,dx. Integração por partes com a=x, db=\cos x\,dx. Então da=dx, b=\sin x. Assim
K = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.
  1. Substituindo K em J:
J = -x^{2}\cos x + 2K = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x.
  1. Substituindo J em I:
I = x^{3}\sin x - 3J = x^{3}\sin x - 3\big(-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x\big).
Simplificando:
I = x^{3}\sin x + 3x^{2}\cos x -6x\sin x -6\cos x.
  1. Portanto
\int 3x^{3}\cos x\,dx = 3I = 3x^{3}\sin x + 9x^{2}\cos x -18x\sin x -18\cos x + C.
(Aqui o +C é a constante de integração que teremos na expressão para x^{3}u.)

Passo 6

Substituindo a integral na expressão de x^{3}u obtemos
x^{3}u = 3x^{3}\sin x + 9x^{2}\cos x -18x\sin x -18\cos x + C.
Dividindo por x^{3},
u(x) = 3\sin x + \frac{9}{x}\cos x - \frac{18}{x^{2}}\sin x - \frac{18}{x^{3}}\cos x + \frac{C}{x^{3}}.

Passo 7

Usar a condição inicial para determinar C. Lembrando que u=y^{3} e que y(1)=1, temos u(1)=1^{3}=1. Avaliando a fórmula em x=1:
1 = u(1) = 3\sin 1 + 9\cos 1 -18\sin 1 -18\cos 1 + C.
Agrupando termos:
1 = (-15)\sin 1 + (-9)\cos 1 + C.
Logo
C = 1 + 15\sin 1 + 9\cos 1.

Passo 8

Escrever a solução final para u e voltar para y. Substituindo C em u(x),
u(x) = \frac{3x^{3}\sin x + 9x^{2}\cos x -18x\sin x -18\cos x + 1 + 15\sin 1 + 9\cos 1}{x^{3}}.
Como u=y^{3}, obtemos a solução buscada
y(x) = \bigl(u(x)\bigr)^{1/3}.
Aqui a raiz cúbica é a raiz real; tomando a raiz cúbica que satisfaz y(1)=1 a solução é única na vizinhança de x=1.

Resposta

y(x)=\left(\dfrac{3x^{3}\sin x + 9x^{2}\cos x -18x\sin x -18\cos x + 1 + 15\sin 1 + 9\cos 1}{x^{3}}\right)^{1/3}

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