Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
onde
. Ou seja, encontrar as funções
que satisfazem essa igualdade para
numa certa faixa. As informações dadas são apenas a própria equação; não há condições iniciais.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma mais clara, isolando a derivada:
Isto é equivalente ao enunciado. Observação: esta forma sugere tentar uma substituição envolvendo
, porque aparece o produto
, que lembra a derivada de
.
Passo 3
Definimos a nova variável
Agora calculamos sua derivada em função de
e
:
Usando a equação do Passo 2, substituímos
por
. Assim:
Como
, isso vira uma equação para
:
Passo 4
Reescrevendo em forma linear padrão:
Esta é uma equação linear de primeira ordem em
. Calculamos o fator integrante
:
Multiplicando a equação por
obtemos
Integramos ambos os lados em
. Note que
, então
onde
é constante de integração. Portanto
Multiplicando por
vem
Passo 5
Voltando à variável original
, lembrando que
, obtemos
Assim as soluções gerais (reais) são dadas por
onde
é constante arbitrária de integração. Para que
seja real é necessário que o radicando satisfaça
; isso impõe restrições no intervalo de definição dependendo do
. Note que não existe solução constante
para todo
, pois substituir
na equação original leva a
, impossível para
geral.