Resolva as equações diferenciais abaixo.
y y^{\prime}-x y^{2}-x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y\,y' - x y^{2} - x = 0,
onde y'= \dfrac{dy}{dx}. Ou seja, encontrar as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para x numa certa faixa. As informações dadas são apenas a própria equação; não há condições iniciais.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma mais clara, isolando a derivada:
y\,\frac{dy}{dx} = x\bigl(y^{2}+1\bigr).
Isto é equivalente ao enunciado. Observação: esta forma sugere tentar uma substituição envolvendo y^{2}, porque aparece o produto y\cdot dy/dx, que lembra a derivada de y^{2}.

Passo 3

Definimos a nova variável
u(x) = y(x)^{2}.
Agora calculamos sua derivada em função de y e y':
\frac{du}{dx} = 2y\,\frac{dy}{dx}.
Usando a equação do Passo 2, substituímos y\,dy/dx por x(y^{2}+1). Assim:
\frac{du}{dx} = 2x\bigl(y^{2}+1\bigr).
Como y^{2}=u, isso vira uma equação para u:
\frac{du}{dx} = 2x\bigl(u+1\bigr).

Passo 4

Reescrevendo em forma linear padrão:
\frac{du}{dx} - 2x\,u = 2x.
Esta é uma equação linear de primeira ordem em u. Calculamos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -2x\,dx\Bigr)=\exp\!\bigl(-x^{2}\bigr).
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{-x^{2}}\bigr)=2x\,e^{-x^{2}}.
Integramos ambos os lados em x. Note que \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr)=-2x\,e^{-x^{2}}, então
\int 2x\,e^{-x^{2}}\,dx = -e^{-x^{2}} + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u\,e^{-x^{2}} = -e^{-x^{2}} + C.
Multiplicando por e^{x^{2}} vem
u(x) = -1 + C\,e^{x^{2}}.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembrando que u=y^{2}, obtemos
y^{2} = C\,e^{x^{2}} - 1.
Assim as soluções gerais (reais) são dadas por
y(x) = \pm\sqrt{C\,e^{x^{2}} - 1},
onde C é constante arbitrária de integração. Para que y(x) seja real é necessário que o radicando satisfaça C\,e^{x^{2}} - 1 \ge 0; isso impõe restrições no intervalo de definição dependendo do C. Note que não existe solução constante y\equiv 0 para todo x, pois substituir y=0 na equação original leva a -x=0, impossível para x geral.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{C\,e^{x^{2}}-1}

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