Resolva as equações diferenciais com as condições iniciais indicadas (PVI):
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Resolver a equação diferencial com condição inicial dada:
com e .
Informações fornecidas:
- A função incógnita é
, dependente da variável (ou seja, ). - A equação diferencial é de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes.
- As condições iniciais são
e .
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
- Uma técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é procurar soluções da forma
, porque derivar uma exponencial gera novamente uma exponencial proporcional a ela — isso facilita transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para . - Vamos aplicar isso: suponha
. Então as derivadas são
e
- Substituindo essas expressões na equação diferencial, todas as parcelas terão o fator comum
que não é zero para qualquer , então podemos dividir por ele e obter uma equação apenas em . Esse passo transforma o problema diferencial em um problema algébrico (a chamada equação característica).
Passo 3
Formação e resolução da equação característica:
- Substituindo
, e na equação obtemos
- Dividindo por
(que é diferente de zero) resulta a equação característica
- Vamos resolver essa equação quadrática. Ela fatoriza como
- Portanto as raízes são
e , duas raízes reais distintas.
Passo 4
Construção da solução geral e interpretação das constantes:
- Para duas raízes reais distintas
e , a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais. Aqui
e
representam coeficientes lineares que combinam as duas soluções fundamentais
e
.
- Substituindo
e , obtemos a solução geral
Passo 5
Aplicação das condições iniciais para determinar
- Como
, temos a equação
- Agora precisamos de
. Derivando a solução geral,
- Avaliando em
e usando ,
- Agora resolvemos o sistema linear formado por (1) e (2):
- Podemos somar as duas equações para eliminar
.
- Substituindo em (1), .]
Passo 6
Escrever a solução particular com as constantes encontradas:
- Substituindo
e na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial: