Resolva as equações diferenciais com as condições iniciais indicadas (PVI):
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Resolver a equação diferencial com condição inicial dada: y''+3y'+2y=0 com y(0)=1 e y'(0)=3.
Informações fornecidas:
  • A função incógnita é y, dependente da variável t (ou seja, y=y(t)).
  • A equação diferencial é de segunda ordem e homogênea com coeficientes constantes.
  • As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=3.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • Uma técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é procurar soluções da forma \displaystyle y(t)=e^{rt}, porque derivar uma exponencial gera novamente uma exponencial proporcional a ela — isso facilita transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para r.
  • Vamos aplicar isso: suponha \displaystyle y(t)=e^{rt}. Então as derivadas são
y'(t)=r e^{rt}
e
y''(t)=r^2 e^{rt}.
  • Substituindo essas expressões na equação diferencial, todas as parcelas terão o fator comum e^{rt} que não é zero para qualquer t, então podemos dividir por ele e obter uma equação apenas em r. Esse passo transforma o problema diferencial em um problema algébrico (a chamada equação característica).

Passo 3

Formação e resolução da equação característica:
  • Substituindo y, y' e y'' na equação \displaystyle y''+3y'+2y=0 obtemos
r^2 e^{rt} + 3 r e^{rt} + 2 e^{rt} = 0.
  • Dividindo por \displaystyle e^{rt} (que é diferente de zero) resulta a equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0.
  • Vamos resolver essa equação quadrática. Ela fatoriza como
r^2 + 3r + 2 = (r+1)(r+2)=0.
  • Portanto as raízes são \displaystyle r=-1 e \displaystyle r=-2, duas raízes reais distintas.

Passo 4

Construção da solução geral e interpretação das constantes:
  • Para duas raízes reais distintas \displaystyle r_1 e \displaystyle r_2, a solução geral da equação homogênea é
y(t)=C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais. Aqui C_1 e C_2 representam coeficientes lineares que combinam as duas soluções fundamentais e^{r_1 t} e e^{r_2 t}.
  • Substituindo \displaystyle r_1=-1 e \displaystyle r_2=-2, obtemos a solução geral
y(t)=C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t}.

Passo 5

Aplicação das condições iniciais para determinar C_1\) e \(C_2\): - Primeiro use \(y(0)=1\). Avaliando \(y(t)\) em \(t=0\) dá \[y(0)=C_1 e^{0} + C_2 e^{0}=C_1 + C_2.
  • Como y(0)=1, temos a equação
C_1 + C_2 = 1. \tag{1}
  • Agora precisamos de y'(t). Derivando a solução geral,
y'(t) = -C_1 e^{-t} - 2 C_2 e^{-2t}.
  • Avaliando em t=0 e usando y'(0)=3,
y'(0) = -C_1 - 2 C_2 = 3. \tag{2}
  • Agora resolvemos o sistema linear formado por (1) e (2):
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\[4pt] - C_1 - 2 C_2 = 3. \end{cases}
  • Podemos somar as duas equações para eliminar C_1\]: somando (1) com (2) dá \[(C_1 + C_2) + (-C_1 - 2C_2) = 1 + 3,\] ou seja \[- C_2 = 4.\] - Assim \(\displaystyle C_2 = -4.
    - Substituindo em (1), \displaystyle C_1 = 1 - C_2 = 1 - (-4) = 5.]

Passo 6

Escrever a solução particular com as constantes encontradas:
  • Substituindo \displaystyle C_1=5 e \displaystyle C_2=-4 na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial:
y(t)=5 e^{-t} - 4 e^{-2t}.

Resposta

y(t)=5 e^{-t} - 4 e^{-2t}

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