(2,5 pontos) Esboce a região delimitada pela parábola y=x^{2} e pela reta y=x+6. Determine a área dessa região .

Passo 1

O enunciado dá as duas curvas:
y = x^{2}
e
y = x + 6.
Pede duas coisas:
  1. Esboçar (desenhar à mão, num rascunho) a região delimitada por essas duas curvas.
  2. Determinar a área dessa região.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
\text{parábola } y = x^{2}, \qquad \text{reta } y = x + 6.á
A região é a parte do plano limitada onde as duas curvas se encontram (ou seja, entre os pontos de intersecção).

Passo 2

Primeiro vamos achar os pontos de interseção das curvas: igualamos as expressões de y:
x^{2} = x + 6.
Rearranjando para obter um polinômio igual a zero:
x^{2} - x - 6 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Tentamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja -6 e soma seja -1. Esses números são -3 e 2, mas perceba que queremos soma -1; então fatoramos corretamente:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Assim as raízes são:
x=3 \quad\text{e}\quad x=-2.
Agora encontramos as coordenadas dos pontos de interseção substituindo cada x em qualquer das duas curvas (elas coincidem nos pontos de intersecção). Para x=-2:
y = (-2)^{2} = 4,
ou usando a reta y=-2+6=4. Para x=3:
y = 3^{2} = 9,
ou y=3+6=9. Portanto os pontos de interseção são
(-2,4)\quad\text{e}\quad(3,9).

Passo 3

Precisamos saber qual curva está por cima (maior y) entre x=-2 e x=3, porque a área entre curvas é dada por integrar a diferença (curva de cima menos curva de baixo).
Considere a função diferença
D(x) = (x+6) - x^{2} = -x^{2}+x+6.
Observando que D(-2)=4-4=0 e D(3)=9-9=0 (raízes), e avaliando em um ponto interior, por exemplo x=0:
D(0)=0+6-0=6>0.
Como D(x) é contínua e positiva em x=0, concluímos que para todo x entre -2 e 3 temos D(x)>0. Logo, a reta y=x+6 está acima da parábola y=x^{2} nesse intervalo. (Outra forma é notar a fatoração D(x)=-(x-3)(x+2) e verificar o sinal entre as raízes.)

Passo 4

Agora montamos a integral que dá a área da região usando tiras verticais (a maneira padrão em provas): a área é
\text{Área}=\int_{x=-2}^{x=3} \big(\text{curva de cima} - \text{curva de baixo}\big)\,dx.Á
Como a reta está por cima, temos
\text{Área}=\int_{-2}^{3} \big((x+6) - x^{2}\big)\,dx.Á
Explicando a fórmula: cada tira vertical em abscissa x tem altura y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}=(x+6)-x^{2} e espessura dx. Somando (integrando) essas áreas elementares de -2 a 3 obtemos a área total.

Passo 5

Calculamos a integral passo a passo. Primeiro escrevemos a integral:
\int_{-2}^{3} \big(x+6 - x^{2}\big)\,dx.
Integramos termo a termo. Relembrando a regra básica: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando para cada termo:
\int x\,dx = \tfrac{1}{2}x^{2},\qquad \int 6\,dx = 6x,\qquad \int x^{2}\,dx = \tfrac{1}{3}x^{3}.
Portanto uma antiderivada da função integranda é
F(x) = \tfrac{1}{2}x^{2} + 6x - \tfrac{1}{3}x^{3}.
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a área é F(3)-F(-2).
Calculamos F(3):
F(3)=\tfrac{1}{2}\cdot 3^{2} + 6\cdot 3 - \tfrac{1}{3}\cdot 3^{3} = \tfrac{1}{2}\cdot 9 + 18 - \tfrac{1}{3}\cdot 27 = \tfrac{9}{2} + 18 - 9.
Simplificando:
\tfrac{9}{2} + 18 - 9 = \tfrac{9}{2} + 9 = \tfrac{9+18}{2} = \tfrac{27}{2}.
Notei que antes achei 13{,}5 que é igual a \tfrac{27}{2}, então está consistente.
Agora F(-2):
F(-2)=\tfrac{1}{2}\cdot (-2)^{2} + 6\cdot (-2) - \tfrac{1}{3}\cdot (-2)^{3} = \tfrac{1}{2}\cdot 4 -12 - \tfrac{1}{3}\cdot (-8).
Isso dá
F(-2)=2 - 12 + \tfrac{8}{3} = -10 + \tfrac{8}{3}.
Escrevendo em forma de fração com denominador 3:
-10 + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{30}{3} + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{22}{3}.
Agora fazemos a subtração F(3)-F(-2):
\text{Área} = \tfrac{27}{2} - \big(-\tfrac{22}{3}\big) = \tfrac{27}{2} + \tfrac{22}{3}.Á
Colocando em denominador comum 6:
\tfrac{27}{2} = \tfrac{81}{6},\qquad \tfrac{22}{3}=\tfrac{44}{6},
então
\text{Área} = \tfrac{81}{6} + \tfrac{44}{6} = \tfrac{125}{6}.Á
Portanto a área exata da região é \tfrac{125}{6} unidades de área (aproximadamente 20{,}8333).

Passo 6

Instruções rápidas para esboçar a figura no rascunho da prova (faça à mão livre, sem calculadora):
  • Desenhe eixos x e y.
  • Marque os pontos de interseção encontrados: (-2,4) e (3,9). (Peguei esses pontos a partir dos resultados do Passo 2.)
  • Desenhe a parábola y=x^{2} com vértice em (0,0) e passando por (-2,4) e (3,9).
  • Desenhe a reta y=x+6: é uma reta com coeficiente angular 1 (45° íngreme) que intercepta o eixo y em 6; passe por (-2,4) e (3,9).
  • Sombreie a região entre as duas curvas entre x=-2 e x=3; será uma “fita” limitada à esquerda em (-2,4) e à direita em (3,9), com a reta acima e a parábola abaixo.
Vai dar certo — lembra: marcar os pontos de interseção e testar um ponto intermediário (por exemplo x=0) resolve rápido qual curva é a de cima, e a integral é só a soma das pequenas áreas verticais.

Resposta

Esboço: Região entre as curvas y=x^{2} (embaixo) e y=x+6 (em cima) limitada por (-2,4) e (3,9).
Área: \tfrac{125}{6}

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