(2,5 pontos) Esboce a região delimitada pela parábola
e pela reta
. Determine a área dessa região .
Passo 1
O enunciado dá as duas curvas:
e
Pede duas coisas:
- Esboçar (desenhar à mão, num rascunho) a região delimitada por essas duas curvas.
- Determinar a área dessa região.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar:
A região é a parte do plano limitada onde as duas curvas se encontram (ou seja, entre os pontos de intersecção).
Passo 2
Primeiro vamos achar os pontos de interseção das curvas: igualamos as expressões de
:
Rearranjando para obter um polinômio igual a zero:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Tentamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
, mas perceba que queremos soma
; então fatoramos corretamente:
Assim as raízes são:
Agora encontramos as coordenadas dos pontos de interseção substituindo cada
em qualquer das duas curvas (elas coincidem nos pontos de intersecção). Para
:
ou usando a reta
. Para
:
ou
. Portanto os pontos de interseção são
Passo 3
Precisamos saber qual curva está por cima (maior
) entre
e
, porque a área entre curvas é dada por integrar a diferença (curva de cima menos curva de baixo).
Considere a função diferença
Observando que
e
(raízes), e avaliando em um ponto interior, por exemplo
:
Como
é contínua e positiva em
, concluímos que para todo
entre
e
temos
. Logo, a reta
está acima da parábola
nesse intervalo. (Outra forma é notar a fatoração
e verificar o sinal entre as raízes.)
Passo 4
Agora montamos a integral que dá a área da região usando tiras verticais (a maneira padrão em provas): a área é
Como a reta está por cima, temos
Explicando a fórmula: cada tira vertical em abscissa
tem altura
e espessura
. Somando (integrando) essas áreas elementares de
a
obtemos a área total.
Passo 5
Calculamos a integral passo a passo. Primeiro escrevemos a integral:
Integramos termo a termo. Relembrando a regra básica: para
,
Aplicando para cada termo:
Portanto uma antiderivada da função integranda é
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a área é
.
Calculamos
:
Simplificando:
Notei que antes achei
que é igual a
, então está consistente.
Agora
:
Isso dá
Escrevendo em forma de fração com denominador
:
Agora fazemos a subtração
:
Colocando em denominador comum
:
então
Portanto a área exata da região é
unidades de área (aproximadamente
).
Passo 6
Instruções rápidas para esboçar a figura no rascunho da prova (faça à mão livre, sem calculadora):
- Desenhe eixos
e . - Marque os pontos de interseção encontrados:
e . (Peguei esses pontos a partir dos resultados do Passo 2.) - Desenhe a parábola
com vértice em e passando por e . - Desenhe a reta
: é uma reta com coeficiente angular (45° íngreme) que intercepta o eixo em ; passe por e . - Sombreie a região entre as duas curvas entre
e ; será uma “fita” limitada à esquerda em e à direita em , com a reta acima e a parábola abaixo.
Vai dar certo — lembra: marcar os pontos de interseção e testar um ponto intermediário (por exemplo
) resolve rápido qual curva é a de cima, e a integral é só a soma das pequenas áreas verticais.
Resposta
Esboço: Região entre as curvas
(embaixo) e
(em cima) limitada por
e
.
Área:
Área: