Calcule a integral. (2.5 pontos ) \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}} d u
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du.
Informações dadas: \;0 e \;2 são os limites de integração.
A função integranda é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}.
A tarefa é obter o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): a expressão \sqrt{4-u^{2}} lembra a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. Uma substituição trigonométrica muito usada para integrais com \sqrt{a^{2}-u^{2}} é
onde usei a identidade \cos\theta\ge0 no intervalo que iremos usar (vou ajustar os limites em seguida para garantir isso).
Passo 4
Troca dos limites: quando u=0 temos 0=2\sin\theta\Rightarrow \sin\theta=0\Rightarrow \theta=0.
Quando u=2 temos 2=2\sin\theta\Rightarrow \sin\theta=1\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}.
Portanto os limites em \theta vão de 0 a \frac{\pi}{2}. Substituindo na integral: