Calcule a integral.
(2.5 pontos ) \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du.
Informações dadas:
\;0 e \;2 são os limites de integração.
A função integranda é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}.
A tarefa é obter o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): a expressão \sqrt{4-u^{2}} lembra a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. Uma substituição trigonométrica muito usada para integrais com \sqrt{a^{2}-u^{2}} é
u = a\sin\theta,
porque então
\sqrt{a^{2}-u^{2}} = \sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta} = a\cos\theta.
Aqui temos a=2, então vamos usar a substituição
u = 2\sin\theta.
Explico passo a passo o que isso faz e por que funciona.

Passo 3

Faço a substituição \;u=2\sin\theta.
Calculo du e a raiz:
du = 2\cos\theta\,d\theta,
\sqrt{4-u^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}=2\cos\theta,
onde usei a identidade \cos\theta\ge0 no intervalo que iremos usar (vou ajustar os limites em seguida para garantir isso).

Passo 4

Troca dos limites: quando u=0 temos 0=2\sin\theta\Rightarrow \sin\theta=0\Rightarrow \theta=0.
Quando u=2 temos 2=2\sin\theta\Rightarrow \sin\theta=1\Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2}.
Portanto os limites em \theta vão de 0 a \frac{\pi}{2}. Substituindo na integral:
\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2\cos\theta}\cdot (2\cos\theta)\,d\theta.
Expliquei: o fator 1/\sqrt{4-u^{2}} virou 1/(2\cos\theta) e du trouxe 2\cos\theta\,d\theta; os 2\cos\theta cancelam.

Passo 5

Depois do cancelamento a integral fica muito simples:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1\,d\theta = \theta\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}.
Isto é, a integral definida transformou-se na diferença entre \theta avaliado em \theta=\frac{\pi}{2} e em \theta=0.

Passo 6

Método alternativo (fórmula direta) — pequena aula: existe uma primitiva conhecida
\frac{d}{du}\Big(\arcsin\!\big(\tfrac{u}{a}\big)\Big)=\frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}
para |u|<a. No nosso caso a=2, logo uma primitiva da função integranda é
\arcsin\!\big(\tfrac{u}{2}\big).
Aplicando a fórmula da integral definida temos
\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{4-u^{2}}}\,du = \arcsin\!\big(\tfrac{u}{2}\big)\Big|_{0}^{2},
que é equivalente ao resultado obtido com a substituição trigonométrica.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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